Parabel-Rechner

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitlinie, gleich weit entfernt sind. Diese geometrische Definition erzeugt die bekannte U-förmige Kurve einer quadratischen Funktion. Jede vertikale Parabel besitzt eine vertikale Symmetrieachse durch ihren Scheitelpunkt. Ist der führende Koeffizient positiv, öffnet sie sich nach oben, ist er negativ, nach unten. Die allgemeine Form lautet y = ax² + bx + c, wobei a nicht null sein darf. Die x-Koordinate des Scheitels ist -b geteilt durch 2a. Setzt man sie in die Gleichung ein, erhält man die y-Koordinate. Dieser Rechner verwendet den gleichwertigen Ausdruck k = c - b²/(4a). In der allgemeinen Form ist der y-Achsenabschnitt c sofort erkennbar, während Vorzeichen und Größe von a die Richtung und Breite der Kurve bestimmen. Die Scheitelform beschreibt dieselbe Familie als y = a(x - h)² + k. Der Scheitelpunkt ist direkt als (h, k) ablesbar, die Symmetrieachse lautet x = h. Diese Form ist besonders praktisch nach quadratischer Ergänzung oder einer Verschiebung des Graphen y = x². Ein großer Betrag von a erzeugt einen schmaleren Graphen, ein Betrag zwischen null und eins einen breiteren. Ein Vorzeichenwechsel spiegelt die Kurve an einer horizontalen Geraden durch ihren Scheitel. Brennpunkt und Leitlinie hängen vom hier verwendeten Brennparameter p ab, der bei einer vertikalen Funktionsparabel 1 geteilt durch 4a beträgt. Der Brennpunkt ist (h, k + p), die Leitlinie die horizontale Gerade y = k - p. Der Betrag von p ist die Brennweite, also der Abstand vom Scheitel zum Brennpunkt oder zur Leitlinie. Eine schmale Parabel hat eine kurze Brennweite, eine breite eine längere. Parabeln treten überall dort auf, wo quadratische Zusammenhänge oder Reflexionseigenschaften beteiligt sind. Wurfbahnen sind näherungsweise parabelförmig, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Satellitenschüsseln, Funkantennen, Teleskopspiegel, Autoscheinwerfer und Solarkonzentratoren nutzen Parabolreflektoren, weil achsenparallele Strahlen zum Brennpunkt reflektiert werden. In der analytischen Geometrie beschreiben Scheitel, Achse, Brennpunkt und Leitlinie Lage und Form der Kurve vollständig. Dieser Rechner verarbeitet vertikale Parabeln, die als Funktionen von x dargestellt werden. Eine seitlich geöffnete Parabel stellt dagegen x als Funktion von y dar und benötigt eine horizontale Achse, eine vertikale Leitlinie und einen anders platzierten Brennpunkt. Geben Sie für die unterstützten Formen ein a ungleich null und die übrigen Koeffizienten ein. Das Ergebnis zeigt alle wesentlichen geometrischen Eigenschaften als gerundete Dezimalwerte zum Zeichnen und Nachprüfen.