Rechner für Hilberts Hotelparadoxon

Simulieren Sie, wie ein voll belegtes Hotel mit unendlich vielen Zimmern noch einen Gast, eine endliche Gruppe oder einen unendlichen Bus aufnehmen kann.

Zimmersimulator für das unendliche Hotel

Wählen Sie ein Ankunftsszenario und verfolgen Sie einen nummerierten Gast oder Fahrgast bis zu seinem neu zugewiesenen Zimmer.

Szenariotyp

Gast- oder Fahrgastnummer

Über Hilberts Hotelparadoxon

Hilberts Hotel ist ein Gedankenexperiment des Mathematikers David Hilbert, das das ungewöhnliche Verhalten abzählbar unendlicher Mengen veranschaulicht. Stellen Sie sich ein Hotel vor, dessen Zimmer mit 1, 2, 3 und so weiter ohne Ende nummeriert sind. Alle Zimmer sind belegt; ein endliches Hotel würde daher als ausgebucht gelten. Im unendlichen Hotel kann die Leitung dennoch Platz schaffen, indem sie die Gäste nach einer Regel umziehen lässt, die jedem bisherigen Gast ein anderes Zimmer zuordnet. Kommt ein neuer Gast, zieht Gast 1 in Zimmer 2, Gast 2 in Zimmer 3 und allgemein Gast n in Zimmer n plus 1. Alle bisherigen Gäste behalten ein Zimmer, und Zimmer 1 wird frei. Für eine endliche Gruppe von k neuen Gästen kann bisheriger Gast n in Zimmer n plus k ziehen, sodass die ersten k Zimmer frei werden. Dieser Rechner verwendet die eingegebene Zahl zugleich als Gruppengröße und als Nummer des verfolgten Gastes. Das angezeigte Ziel ist deshalb das Doppelte dieser Zahl. Das Szenario mit dem unendlichen Bus ist noch überraschender. Wenn jeder bisherige Gast von Zimmer n in Zimmer 2n zieht, befinden sich alle bisherigen Gäste in geradzahligen Zimmern. Die unendlich vielen ungeradzahligen Zimmer bleiben frei. Fahrgast n aus dem Bus kann dann Zimmer 2n minus 1 beziehen. So erhält jeder alte Gast und jeder neue Fahrgast eine eindeutige Zuordnung, obwohl beide Gruppen unendlich sind und das Hotel bereits voll war. Das Paradoxon behauptet nicht, dass reale Hotels unendlich viele Menschen aufnehmen können. Es zeigt, dass unendliche Mächtigkeit nicht allen Intuitionen des endlichen Zählens folgt. Die natürlichen Zahlen lassen sich eineindeutig einer echten Teilmenge wie den geraden Zahlen zuordnen. Beide Mengen haben daher dieselbe abzählbar unendliche Größe. Weder muss ein letzter Gast umziehen noch ist ein größtes Zimmer nötig, denn die Neuvergabe ist eine mathematische Abbildung und keine Folge einzeln abzuschließender Umzüge. Untersuchen Sie mit dem Simulator konkrete Zimmervergaben, statt den gesamten unendlichen Vorgang auflisten zu wollen. Jeder positive ganzzahlige Index folgt derselben Regel. Die Beispiele verbinden Formeln mit einzelnen Gästen; die Erklärung zeigt, warum niemals zwei Personen dasselbe Zimmer erhalten und jedes zugewiesene Zimmer genau einen Bewohner hat.

Beispiele für Hilberts Hotel

Ankunft	Zuordnungsregel	Geschaffener Platz
Ein neuer Gast	Gast n zieht in Zimmer n + 1	Zimmer 1 wird für den neuen Gast frei.
Fünf neue Gäste	Gast n zieht in Zimmer n + 5	Zimmer 1 bis 5 werden frei.
Ein unendlicher Bus	Alter Gast n geht nach 2n; Fahrgast n nach 2n - 1	Gerade Zimmer beherbergen alte Gäste, ungerade Zimmer die Busfahrgäste.

So verwenden Sie den unendlichen Hotelsimulator

Wählen Sie die Ankunft eines Gastes, einer endlichen Gruppe oder eines unendlichen Busses.
Geben Sie den positiven ganzzahligen Index des zu verfolgenden Gastes oder Fahrgastes ein.
Wählen Sie Zimmervergabe simulieren, um die eineindeutige Abbildung anzuwenden.
Vergleichen Sie die Zimmer der bisherigen Gäste und Neuankömmlinge im Ergebnisbereich.

Häufige Fragen zu Hilberts Hotel

Wie kann ein volles Hotel noch einen Gast aufnehmen?

Jeder bisherige Gast zieht von Zimmer n in Zimmer n plus 1. So bleibt für alle ein Zimmer erhalten, während Zimmer 1 frei wird.

Kann das Hotel unendlich viele neue Gäste aufnehmen?

Ja, sofern es abzählbar unendlich viele sind. Bisherige Gäste ziehen in gerade Zimmer, neue Fahrgäste in ungerade. Jeder erhält ein eigenes Zimmer.

Wird die Neuvergabe jemals fertig?

Die Argumentation beschreibt eine vollständige mathematische Abbildung, keine nacheinander stattfindenden Umzüge in Echtzeit. Für jeden nummerierten Gast ist das Ziel sofort definiert; ein letzter Umzug ist nicht nötig.

Was bedeutet abzählbar unendlich?

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn ihre Elemente den positiven ganzen Zahlen eineindeutig zugeordnet werden können. Natürliche Zahlen, gerade Zahlen und ganze Zahlen sind typische Beispiele.

Warum sind gerade Zahlen genauso zahlreich wie alle natürlichen Zahlen?

Die Abbildung n auf 2n ordnet jeder natürlichen Zahl genau eine gerade Zahl zu. Unendliche Mengen können daher dieselbe Mächtigkeit wie eine echte Teilmenge ihrer selbst haben.