Rechner für komplexe Zahlen
Zwei komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren und das Ergebnis in kartesischer Form ablesen.
Mit komplexen Zahlen rechnen
Geben Sie z₁ = a + bi und z₂ = c + di ein und wählen Sie eine Grundrechenart.
Über das Rechnen mit komplexen Zahlen
Eine komplexe Zahl verbindet einen Realteil und einen Imaginärteil in der Form a + bi, wobei i² = -1 gilt. Der reelle Koeffizient a bestimmt die horizontale Position in der komplexen Ebene, der imaginäre Koeffizient b die vertikale. Komplexe Zahlen erweitern das reelle Zahlensystem, sodass Gleichungen wie x² + 1 = 0 Lösungen haben. Außerdem bieten sie eine kompakte Sprache für Schwingungen, Drehungen, elektrische Impedanz, Wellen und viele weitere mathematische Modelle.
Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Um a + bi und c + di zu addieren, addieren Sie a zu c und b zu d. Die Subtraktion verwendet dieselbe Struktur mit Differenzen. Das ähnelt der Addition oder Subtraktion zweidimensionaler Vektoren. Reelle und imaginäre Terme in getrennten Spalten zu halten ist eine zuverlässige Methode gegen Vorzeichenfehler, besonders bei negativen Koeffizienten.
Die Multiplikation nutzt das gewöhnliche Distributivgesetz zusammen mit i² = -1. Das Ausmultiplizieren von (a + bi)(c + di) ergibt ac + adi + bci + bdi². Ersetzt man i² durch -1 und fasst zusammen, entstehen der Realteil ac - bd und der Imaginärteil ad + bc. Die Multiplikation hat auch eine geometrische Bedeutung: Die Beträge werden multipliziert und die Argumente addiert. Sie verbindet somit Skalierung und Drehung in der komplexen Ebene.
Bei der Division wird der Nenner mithilfe seiner konjugierten Zahl reell gemacht. Multipliziert man Zähler und Nenner von (a + bi)/(c + di) mit c - di, wird der Nenner zu c² + d². Der Realteil des Ergebnisses ist (ac + bd)/(c² + d²), der Imaginärteil ist (bc - ad)/(c² + d²). Nur wenn c und d beide null sind, ist die Division nicht definiert, da dann das Betragsquadrat des Nenners null ist.
Der Rechner akzeptiert für alle vier Koeffizienten ganze Zahlen, negative Zahlen und Dezimalwerte. Die Ergebnisse werden mit doppelter Genauigkeit berechnet und zur Anzeige auf acht Nachkommastellen gerundet. Sehr kleine Gleitkommaartefakte erscheinen als null. Die Antwort bleibt in kartesischer Form, damit Real- und Imaginärteil sofort sichtbar sind. Vorzeichen werden automatisch formatiert, einschließlich eines Minuszeichens bei negativem Imaginärteil.
Komplexe Arithmetik wird in Algebra, Regelungstechnik, Kommunikation, Quantenmechanik, Strömungslehre und Signalverarbeitung verwendet. Auch wenn Software die Rechnung übernimmt, helfen die Komponentenformeln beim Interpretieren der Ergebnisse und Erkennen von Fehlern. Nutzen Sie die Erklärung unter jeder Antwort als kurze Erinnerung an die Regel und prüfen Sie wichtige Divisionsergebnisse, indem Sie den Quotienten mit dem ursprünglichen Divisor multiplizieren.
Beispiele für komplexe Zahlen
| Rechnung | Ergebnis | Methode |
|---|---|---|
| (3 + 4i) + (2 - 5i) | 5 - 1i | Reelle und imaginäre Koeffizienten getrennt addieren. |
| (5 + 2i) - (1 + 7i) | 4 - 5i | Jede Komponente der zweiten Zahl subtrahieren. |
| (2 + 3i)(4 - i) | 11 + 10i | Ausmultiplizieren, i² durch -1 ersetzen und gleichartige Terme zusammenfassen. |
| (4 + 2i)/(1 - i) | 1 + 3i | Mit 1 + i multiplizieren und jede Komponente durch 2 teilen. |
So verwenden Sie den Rechner für komplexe Zahlen
- Wählen Sie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.
- Geben Sie den reellen und imaginären Koeffizienten der ersten komplexen Zahl ein.
- Geben Sie den reellen und imaginären Koeffizienten der zweiten komplexen Zahl ein.
- Wählen Sie Komplexes Ergebnis berechnen und betrachten Sie die kartesische Antwort sowie die Rechenregel.
Häufige Fragen zum Rechner für komplexe Zahlen
Was bedeutet i in einer komplexen Zahl?
Das Symbol i ist die durch i² = -1 definierte imaginäre Einheit. Damit lassen sich Quadratwurzeln negativer reeller Zahlen widerspruchsfrei darstellen.
Wie addiere ich komplexe Zahlen?
Addieren Sie die Realteile miteinander und die imaginären Koeffizienten miteinander. Fassen Sie einen reellen Term nicht direkt mit einem imaginären Term zusammen.
Warum verwendet die komplexe Multiplikation ac - bd?
Das Produkt der beiden imaginären Terme ist bdi². Da i² gleich -1 ist, wird dieser Beitrag zum reellen Term -bd.
Wie wird die komplexe Division berechnet?
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners. Der Nenner wird dadurch zu seinem reellen Betragsquadrat c² + d².
Kann ein komplexes Ergebnis den Imaginärteil null haben?
Ja, komplexe Arithmetik kann eine gewöhnliche reelle Zahl ergeben. Der Rechner zeigt sie mit dem imaginären Koeffizienten null an, damit beide Komponenten ausdrücklich sichtbar bleiben.