線上擲硬幣模擬器：隨機投擲與機率分布實驗

擲硬幣是最簡單的隨機實驗，也正因如此，它格外實用。只要投擲次數夠多，機率論中更深入的概念，如期望值、變異數、抽樣分布、大數法則及中央極限定理，都能直接呈現。 本模擬器認真看待隨機性。預設向 RANDOM.ORG 取得 128 位元的大氣雜訊熵。這項真隨機數服務透過測量無線電雜訊取得隨機性，再以這些位元為快速且統計表現可靠的生成器 sfc32 設定種子，由它決定本輪每次投擲的結果。若無法連上 RANDOM.ORG，工具會自動改用瀏覽器的密碼學安全隨機數生成器，並明確告知。每輪也會顯示種子；將任意文字貼入重現種子欄位，即可精確重現相應結果，方便課堂教學與分享。 批次投擲不只提供次數統計。正反面的最長連續次數，呈現真正隨機的序列中也會出現令人意外的長串相同結果：連續出現看似不公平，卻是預期中的現象。偏差列比較觀測到的正面比例與硬幣的真實機率 p，並列出理論標準差 sqrt(p(1-p)/n)，方便判斷結果究竟異常，還是一般的抽樣波動。 分布實驗室更進一步：同時針對多組投擲次數，將完整實驗重複數百次，並在同一座標軸繪出各組正面比例的分布。每輪投擲十次，分布寬而不規則；每輪投擲一千次，則在 p 附近形成狹窄尖峰。分布收窄體現大數法則，形狀越來越像鐘形則體現中央極限定理，一鍵就能在同一張圖表觀察。獨立的累計比例圖追蹤一次長序列逐漸趨近 p 的過程，全部結果還可匯出為 CSV，用於試算表或統計課程。