誤差函數計算機

誤差函數記為 erf(x)，是一種特殊數學函數；只要涉及高斯（鐘形）機率分布，它便會自然出現。它定義為從 0 到 x 的高斯函數積分，並經過縮放使 erf(∞) = 1。明確地說，erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt。由於此積分無法以初等函數表示成閉式，計算時需要數值方法或級數展開，這正是本計算機提供的功能。 誤差函數與常態分布密切相關。若 X 為標準常態隨機變數，則 X 落在 −a 與 a 間的機率等於 erf(a/√2)。更一般地，對均值為 μ、標準差為 σ 的常態分布，隨機變數位於均值 k 個標準差內的機率為 erf(k/√2)。因此，erf 經常出現在統計、假設檢定及信賴區間的計算中。 互補誤差函數 erfc(x) = 1 − erf(x) = (2/√π) ∫ₓ^∞ e^(−t²) dt 描述尾端機率，也就是高斯分布在 x 之外尾部的機率質量。x 很大時，erfc(x) 遠小於 1；若直接以 1 − erf(x) 計算，會因災難性消去而失去精度。本計算機使用專用演算法計算 erfc(x)，即使 x 很大、erf(x) 在標準浮點運算中已與 1 無法區分時，仍能維持準確。 反誤差函數 erf⁻¹(x) 解 erf(y) = x 的方程以求 y，定義於開區間 (−1, 1)。當 x = 0 時，erf⁻¹(0) = 0。當 x 趨近 ±1 時，erf⁻¹(x) 發散至 ±∞。此反函數用於由均勻分布亂數產生常態分布亂數，以及求解涉及常態機率的方程。反互補誤差函數 erfc⁻¹(x) 解 erfc(y) = x 以求 y，定義於開區間 (0, 2)。 在實務工程中，誤差函數會出現在涉及擴散的熱傳問題：半無限固體因表面溫度突然變化而產生的溫度分布遵循 erf 曲線。在半導體物理中，擴散後的摻雜分布由 erfc 描述。在通訊工程中，各種調變方案的位元錯誤率以 erfc 表示。在品質管制與六標準差方法中，均值為 μ、標準差為 σ 且具有規格界限的製程，其缺陷機率也以 erfc 計算。 本計算機的數值實作結合有理多項式近似與已知級數展開，在整個定義域內可達至少 15 位有效數字的結果，精度相當於或優於標準科學計算機及 Python math.erf 等軟體函式庫。