SVD計算機

奇異值分解通常簡稱SVD，可將實矩陣分解為三個具有特定結構的矩陣。慣用等式表示為：原矩陣等於U乘以Sigma再乘以V的轉置。U與V是正交矩陣，其行向量構成互相垂直的單位方向。Sigma是對角矩陣，對角線上包含由大到小排列的非負奇異值。本計算機可對任意二階實矩陣進行此分解。 計算首先將輸入矩陣的轉置與輸入矩陣相乘，得到一個對稱矩陣。除了微小的浮點誤差外，其特徵值皆為非負。特徵值的平方根就是奇異值，對應的正規化特徵向量構成V的各行。將原矩陣乘以每個右奇異向量，再除以其非零奇異值，即可得到U的對應行。當奇異值為零時，計算機會以確定性方式補齊正交規一基底，確保顯示的分解因子仍然有效。 奇異值描述矩陣沿特定方向伸縮空間的程度。若第一個奇異值很大，第二個則小得多，表示變換主要集中在一個方向。第二個奇異值為零，代表矩陣的秩為一或零，會將平面壓縮成直線或單一點。最大奇異值與最小非零奇異值的比值與數值條件性有關，但本頁顯示的是分解結果，而不是條件數。 SVD可用於最小平方法擬合、偽逆、降維、影像壓縮、推薦系統、訊號處理與雜訊濾除。與特徵值分解不同，每個實矩陣都存在SVD，且不受限於對稱矩陣或方陣。本第1階段計算機刻意將輸入限制為二階矩陣，以提供精簡、透明、不依賴外部套件且格式可預期的實作。不過，其基本概念可直接延伸到任意大小的矩形矩陣。 結果四捨五入至小數點後六位，並移除無意義的尾端零。正交因子在數學上並不唯一：U與V中對應行的正負號可同時反轉，而不改變乘積；重複奇異值也允許子空間內的額外旋轉。因此，其他可靠的SVD套件可能顯示不同的正負號或基底向量，卻仍能重建完全相同的輸入矩陣。本計算機採用一致的定向規則，讓重複輸入與固定範例的結果維持穩定。