三次回归计算器

三次回归使用三次多项式拟合成对观测数据。模型形式为 y = ax³ + bx² + cx + d，其中 a 控制主要的弯曲变化，b 提供二次弯曲项，c 描述线性趋势，d 是 x 为零时的预测值。与插值不同，回归通常不要求曲线经过每一个点，而是选择使观测 y 值与预测 y 值之间的垂直差平方和最小的系数。 本三次回归计算器采用普通最小二乘法。根据输入的 x 值，建立与基函数项 1、x、x²、x³ 对应的四个正规方程，再用带选主元的高斯消元法求解这个四元方程组。每一步选择可用的最大主元，有助于提高数值可靠性。由于需要估计四个独立系数，至少需要四组成对观测数据和四个不同的 x 值。 结果中的决定系数 R² 将模型剩余的平方误差与观测 y 值的总变异进行比较。R² 为 1 表示拟合曲线完全重现每个观测值。接近零表示模型解释变异的能力与直接使用均值相比提升很小。较高的 R² 是拟合良好的证据，但并不能证明三次关系具有科学意义，也不保证观测范围之外的预测可靠。 当数据趋势最多改变方向两次时，三次模型很有用，例如先加速上升、随后减缓、再度上升。它可描述校准曲线、有限区间内的物理轨迹、生长测量、需求模式及平滑的实验响应。尽可能绘制数据图。单个异常观测值可能产生很大影响，较大或过于密集的 x 值也会使多项式系数对微小变化敏感。 两个列表中的位置必须对应：第一个 x 配第一个 y，第二个 x 配第二个 y，依此类推。通常，超过最低四组要求的观测数据能提供更有参考价值的拟合。预测超出数据范围时应谨慎，因为 x³ 项可能迅速增大。请将三次模型与更简单的线性或二次模型比较；如果额外的弯曲没有带来实质改善，应优先选择简单模型。