负二项分布计算器

负二项分布描述一系列独立试验中，在达到固定成功次数之前发生的失败次数。每次试验只有两种结果，通常称为成功和失败，且成功概率保持不变。本计算器用 r 表示所需成功次数，p 表示每次试验的成功概率，k 表示第 r 次成功之前观测到的失败次数。这一定义常见于概率课程、质量控制、可靠性研究、流行病学和计数数据建模。 精确概率通过概率质量函数计算：C(k + r - 1, k) 乘以 p 的 r 次方，再乘以 (1 - p) 的 k 次方。组合数统计之前的成功和失败的可能排列，同时要求最后一次试验必须达到目标成功次数。计算器还将从零到 k 的概率质量函数值相加，得到 P(X <= k)，然后用一减去该累积值，得到 P(X > k)。这些结果可同时回答“恰好”“至多”和“超过”的问题，无需分别计算。 失败次数的期望为 r(1 - p) / p，方差为 r(1 - p) / p²。成功概率越大，分布通常越接近零次失败，离散程度也越小。目标成功次数越多，预期失败次数和方差都会增大。当 p 等于一时，每次试验都成功，因此零次失败的概率为一，均值和方差都为零。 r 和 k 用于计数，因此必须为整数。p 应输入零到一之间的小数，例如用 0.35 表示 35% 的概率。标准模型要求各次试验独立且同分布。如果成功概率随试验变化、结果彼此影响，或过程因其他原因停止，则可能需要其他模型。另外，一些教材将负二项随机变量定义为总试验次数，而不是失败次数。在该定义下，总试验次数等于 k + r；正确转换变量后，概率本身不变。