对数正态分布计算器

当一个正随机变量的自然对数服从正态分布时，该变量就服从对数正态分布。如果ln(X)服从位置参数为mu、标准差为sigma的正态分布，则X服从具有这些参数的对数正态分布。该分布仅定义于正数，通常呈右偏：大量观测值集中在较低数值附近，而较长的右尾允许偶尔出现较大数值。 这些参数描述的是对数，而非原始测量值。Mu是ln(X)的均值，因此改变mu会使原始尺度上的分布按乘法方式移动。Sigma是ln(X)的标准差，必须为正。Sigma越大，相对离散程度越高，右偏越明显，右尾也越重。Sigma有时称为形状参数或对数尺度参数，而不是X的普通标准差。 概率密度函数PDF给出正数x处的相对密度。单点密度本身并不是概率；概率来自区间下的面积。累积分布函数CDF给出X小于或等于所输入x的概率。计算时，将ln(x)转换为正态z分数，再求标准正态分布的CDF。 在原始尺度上，中位数为exp(mu)，因为一半对数值低于mu。众数为exp(mu减去sigma的平方)，当sigma为正时，它小于中位数。均值为exp(mu加上sigma平方的一半)，大于中位数，因为右尾的大数值会拉高算术平均值。众数小于中位数、中位数小于均值，是右偏分布的典型特征。 方差等于exp(sigma的平方)减一，再乘以exp(2mu加上sigma的平方)。随着sigma增大，方差可能迅速增长。这种敏感性在金融、环境、可靠性、生物和持续时间数据中尤为重要，因为少数大观测值可能主导总量。请明确说明参数定义，因为某些软件使用基于原始尺度均值或独立尺度因子的其他参数化方式。 当数值严格为正，且多个影响因素通过乘法共同作用时，对数正态模型可能合理。例如收入、粒径、维修时间、生物浓度以及某些资产价格比率。但它并不自动适用于所有正值右偏样本。应检查直方图、对数尺度图以及对数值的正态概率图。对于零和负值，除非采用具有科学依据的变换或改用其他模型，否则无法用该分布表示。