贝塔分布计算器

贝塔分布是定义在零至一区间上的连续概率分布。两个正的形状参数通常称为alpha和beta，用于控制分布形状。这种灵活性使其适合为概率、比例、转化率、可靠性及其他具有自然上下界的量建模。当alpha和beta都为一时，密度均匀分布；当两者相等且大于一时，形成对称的峰形；两者不相等时，则形成左偏或右偏分布。 概率密度函数为x的(alpha−一)次方乘以(一−x)的(beta−一)次方，再除以贝塔函数B(alpha, beta)。密度描述某点附近的相对集中程度，本身并不是连续变量恰好取该值的概率。累积分布函数给出服从贝塔分布的随机变量小于或等于x的概率。本计算器使用正则化不完全贝塔函数计算CDF，并报告指定点的PDF和CDF。 多个实用统计量可直接由形状参数得到。均值为alpha除以(alpha+beta)；方差为alpha乘以beta，再除以[(alpha+beta)的平方乘以(alpha+beta+一)]。当两个参数都大于一时，区间内部的众数为(alpha−一)除以(alpha+beta−二)。若任一参数不大于一，最大密度可能出现在一个边界或两个边界，因此计算器将这个简单的内部众数标为未定义。 贝塔分布在贝叶斯推断中十分重要，因为它是伯努利及二项似然的共轭先验。先验Beta(alpha, beta)经过s次成功与f次失败更新后，变为Beta(alpha + s, beta + f)。这使得针对比率的概率模型既易于解释又高效，同时表达不确定性，而非只提供点估计。该分布也用于项目建模、次序统计量及随机数生成。应根据应用选择参数，并记住alpha和beta是形状参数，不是概率。用PDF比较相对密度，用CDF计算阈值概率，用各阶矩概括位置与离散程度。