超几何分布计算器

超几何分布描述从有限总体中不放回抽取固定大小样本时，样本中的成功次数。总体含有N个对象，其中恰有K个具备称为“成功”的特征。抽取n个对象作为样本，X统计其中成功对象的数量。典型应用包括从一副牌中抽牌、审核货物、选取委员会成员，以及从有限批次中抽检产品。 精确概率通过组合计数求得。恰好含有k个成功对象的样本数，等于从K个中选k个的组合数，乘以从N减K个中选n减k个的组合数。将该乘积除以从N个中选n个的组合数，也就是所有大小为n的可能样本数，即得到P(X = k)。由于不考虑顺序，组合是自然的计数方法。本计算器无需列出各个对象，即可计算这些因子。 可行输入须遵守若干约束。总体大小必须为正数。总体成功数和样本量不能超过总体大小。要求的样本成功数不能超过可用成功数或样本量，也不能小到使样本所需的失败对象多于总体中现有的失败对象。验证所有限制，可避免把数学上不可能的事件误认为普通的零概率结果。 样本成功数的期望为n乘以K再除以N。方差等于n乘以总体成功比例及其补数，再乘以有限总体修正因子(N - n)除以(N - 1)。该修正反映不放回抽样导致的依赖性。抽取的总体比例越大，不确定性越小；当抽取整个总体时，成功数已知，方差为零。 超几何分布与二项分布有关，但不能互相替代。二项模型假设试验相互独立且成功概率固定，适合放回抽样或总体远大于样本的情况。超几何抽样具有依赖性，因为每次选择都会改变剩余总体的组成。当样本只占大总体的一小部分时，二项分布可以近似结果。对于有限批次或较高抽样比例，精确超几何计算更合适。可将本工具用于质量控制、遗传学、调查、游戏，以及任何抽取后不放回对象的选择过程，获得清晰的概率结果。