星形计算器

规则星形由外侧尖角和内侧凹点围绕同一中心等角度交替排列而成。三个数值即可完全确定这一对称轮廓：尖角数量、外半径和内半径。外半径是中心到各尖角的距离，内半径是中心到各凹点的距离。轮廓顶点的总数因此是可见尖角数量的两倍。 本计算器将轮廓视为不自相交的简单星形多边形，并将其划分为在中心相接的全等三角形。每个外顶点与相邻内顶点对应的圆心角为 pi 除以尖角数量。将全部 2n 个三角形的面积相加，可化简为：面积 = n × 外半径 × 内半径 × sin(pi/n)。此方法适用于任何内外半径交替排列的规则星形，结果精确。 每条轮廓边连接一个外顶点与相邻内顶点。利用两个半径及其夹角，通过余弦定理可求出边长：边长的平方等于外半径的平方加内半径的平方，再减去两半径乘积的两倍乘以 cos(pi/n)。每个尖角对应两条边，因此周长等于边长的 2n 倍。长度结果与输入半径使用相同单位，面积则使用对应的平方单位。 这种几何模型适用于标牌、徽章、拼布图案、激光切割饰品、标志、铺装设计和课堂练习。设计者可改变内半径来调整尖角的尖锐或宽阔程度，而不改变外径。较小的内半径会形成深而窄的凹口；内半径接近外半径时，形状则趋近于带浅凹口的正多边形。 尖角数量必须是至少为三的整数。两个半径都必须为正数，且内半径须小于外半径。本计算器不模拟由一组连续对角线构成的自相交五角星，而是测量内外顶点交替连接形成的实心星形轮廓。将设计投入制作前，请根据材料和工艺的公差要求，为显示尺寸保留足够的精度。