LU分解计算器

LU分解将方阵 A 表示为 L 与 U 的乘积。矩阵 L 为下三角矩阵，即主对角线上方的元素均为零；矩阵 U 为上三角矩阵，即主对角线下方的元素均为零。本工具采用杜利特尔约定，L 的所有对角元素都等于一。将显示的两个因子相乘，即可还原输入矩阵，仅存在通常的浮点舍入误差。 分解过程基于高斯消元。通常用于消去主元下方元素的每个消元乘数都会保存在 L 中，逐步形成的行阶梯矩阵则成为 U。这种组织方式保留了消元过程，而不是将其丢弃。有了 L 和 U，就能在同一系数矩阵对应多个不同右端项时重复使用，比每次从头消元高效得多。 要求解 A × x = b，先通过前代法解 L × y = b，再通过回代法解 U × x = y。三角方程组容易求解，因为每个后续方程只引入一个新的未知量。LU因子也可用于计算行列式：当 L 的对角线为一时，行列式等于 U 对角元素的乘积。矩阵求逆和数值模拟同样将这一结构作为基本模块。 本计算器接受紧凑的矩阵表示法。同一行内的数值以逗号或空格分隔，各行之间以分号分隔。每行元素个数必须与行数相同，因为这种形式的LU分解要求方阵。支持负数和小数。结果仅在显示时舍入，消元本身使用 JavaScript 双精度运算。 本实现采用不选主元的杜利特尔分解，因此消元遇到的每个主元都必须非零。某些完全可逆的矩阵起始主元为零，分解前需要进行行置换。在完整的数值计算库中，这一操作用置换矩阵 P 表示，关系为 P × A = L × U。若本计算器提示主元错误，请调整适当的行顺序后再输入，或使用带主元选择的求解器。对于条件良好的课堂示例，以及对角主元可用的矩阵，显示的分解结果清晰且便于立即核对。