QR分解计算器

QR分解将矩阵A分解为Q与R的乘积。Q的列向量标准正交，即每列长度为一，且不同列相互垂直。R是上三角矩阵，因此主对角线下方的所有元素均为零。对于满秩方阵，将显示的Q和R相乘即可还原原矩阵，仅可能存在小数舍入带来的微小差异。本计算器对实数2乘2矩阵进行该分解。 计算采用经典的格拉姆－施密特过程，依次处理A的各列。首先计算第一列的欧几里得长度。将该列除以其长度，得到Q的第一个单位向量，该长度则成为R的第一个对角元素。接着，将第二列投影到第一个单位向量上。减去该投影后得到垂直向量，将其归一化即可得到Q的第二列。投影系数和第二个向量的长度共同补全上三角矩阵R。 QR分解是数值线性代数的核心工具。它可用于方程数多于未知数的超定系统中的最小二乘拟合，也用于求解特征值的算法。正交变换保留长度，通常不会像直接运算那样严重放大舍入误差，因此适合数值计算。本页聚焦二维情形，方便逐步查看，但同样的列正交化思想也适用于更大的矩形矩阵。 要生成两个单位向量，输入的两列必须线性无关。全零的第一列无法归一化；若第二列只是第一列的倍数，减去投影后便没有剩余的垂直方向。此类矩阵秩不足，不具有这里采用的完整QR形式。QR分解还可能在符号上有所不同：同时将Q的一列和R的对应行取反，乘积保持不变。本计算器将非负长度用作R的对角元素，以便按稳定、一致的约定比较结果。