模幂计算器

模幂运算是将整数底数提升到非负整数次幂，再求除以正模数后的余数。表达式 a^b mod m 求的是从 0 到 m - 1 之间、与 a^b 同余的唯一余数。即使最终余数很小，幂值也会迅速变得极其庞大，使直接计算变得不切实际。本计算器无需构造这个巨大的中间整数。 这种高效方法称为二进制快速幂、反复平方或平方乘算法。它将指数写成二进制并逐位处理。首先将底数对 m 取模，然后在每一步将当前因子平方并对 m 取模。当相应的指数位为一时，将该因子乘入结果，并立即再次取模。由于每个中间值都会取模，计算中的数值始终小于模数的平方。 该算法所需步骤数仅与指数的对数成正比。因此，计算十亿次幂只需约三十个平方阶段，而非重复十亿次乘法。显示的运算次数分别统计平方运算，以及与指数中值为一的二进制位对应的选定乘法。指数为零时会正确返回 1 mod m。 模运算将余数相同的数视为等价。例如，17 和 5 模 12 同余，因为两者的余数都是 5。本工具也支持负底数，会先将其规范化为非负剩余类代表元。这里的指数必须非负。负模指数需要求模乘法逆元，而逆元仅在底数与模数互质时存在。 模幂是数论和现代密码学的基础运算。RSA 加密与签名会对消息进行大指数乘方，再对合数取模。Diffie-Hellman 密钥交换和许多离散对数系统使用对素数取模的幂运算。该运算也用于素性测试、伪随机数生成器、校验和、周期规律和编程竞赛题目。 三个输入字段均以任意精度整数处理，而非浮点数。因此，即使数值超出 JavaScript 通常的安全整数范围，每一位数字仍能保留。模数必须大于一，且输入不得包含逗号或小数点。手动核对时，可以先对底数取模，再对较小指数反复相乘，每一步都求余。