极分解计算器

极分解将实矩阵A分解为乘积QP。对于非奇异方阵，Q为正交矩阵，P为对称正定矩阵。正交矩阵保持长度和角度不变，因此表示旋转或反射。正定因子沿相互垂直的主方向拉伸空间，而不引入旋转。这种分离类似于把非零复数写成模长与单位方向的乘积。 本计算器处理非奇异实数二阶矩阵。首先构造对称的格拉姆矩阵，即A的转置乘以A；该矩阵的正定平方根就是P。二阶正定矩阵的平方根可通过迹和行列式直接求得，无需迭代近似。随后用A乘以P的逆矩阵求出Q。显示结果保留六位小数，内部计算则保留JavaScript双精度。 这些因子具有便于核对的恒等关系。除舍入误差外，Q的转置乘以Q应得到单位矩阵。P等于自身的转置，且特征值均为正。最后，Q乘以P应还原原始矩阵A。若输入单位矩阵，两个因子也都是单位矩阵。若矩阵同时包含四分之一周旋转与不等比例的轴向缩放，Q提取该旋转，P记录两个拉伸系数。 极分解广泛用于力学、图形学、数值分析、优化和统计。在连续介质力学中，它将形变分为刚体旋转和纯拉伸。在计算机图形学中，它有助于从包含缩放或剪切的变换中提取旋转。正交普罗克鲁斯问题利用极分解的正交因子寻找最接近的正交矩阵；需要保持几何结构的数值算法也会使用极迭代。 奇异矩阵也可以有极分解，但其正交因子可能不唯一，计算时需要额外约定。本交互式计算器只接受非奇异矩阵，以确保P可逆且分解明确。严重病态的矩阵可能因某个拉伸方向接近零而放大浮点误差。可将结果用于学习与辅助计算；对于重要的数值工作，应使用支持任意精度或更高维矩阵的软件复核。