Калькулятор простых чисел

Простое число — целое число больше единицы с ровно двумя положительными делителями: единицей и самим собой. Числа больше единицы с дополнительными делителями называются составными. Семь — простое, поскольку без остатка делится только на один и семь, а девять — составное, поскольку имеет ещё делитель три. Ноль и единица не являются ни простыми, ни составными. Это соглашение сохраняет важные результаты теории чисел и единственность разложения на простые множители. Калькулятор проверяет простоту поиском делителя. Чётные числа больше двух можно исключить сразу. Для нечётного кандидата достаточно проверить нечётные делители до квадратного корня. Если составное число равно a, умноженному на b, хотя бы один множитель должен быть не больше квадратного корня; иначе оба были бы больше и их произведение превысило бы число. Отсутствие делителя до этой границы доказывает простоту кандидата. Результат также показывает ближайшие меньшее и большее простые числа. Для их поиска последовательно проверяются целые числа в обе стороны до обнаружения простого. У двойки нет меньшего простого числа, поскольку она первая. Промежутки между простыми различаются: некоторые отличаются лишь на два и образуют пары простых чисел-близнецов, а другие соседние простые разделены гораздо сильнее. Выше любого выбранного целого всегда есть ещё одно простое число: классическое доказательство Евклида показывает, что их последовательность бесконечна. Простые числа лежат в основе арифметики, поскольку любое целое больше единицы единственным образом раскладывается на простые множители. Они используются при сокращении дробей, вычислении наибольшего общего делителя, в модульной арифметике и многочисленных рассуждениях о делимости. Современная криптография с открытым ключом использует операции с большими простыми числами и вычислительно трудные обратные задачи. Хеш-таблицы, методы рандомизации, коды исправления ошибок и циклические структуры также опираются на свойства простых чисел. При ручной проверке сначала исключите делимость на два, три и пять, затем продолжайте проверять возможные простые делители не больше квадратного корня. Признаки делимости ускоряют проверки, но пробное деление остаётся основным доказательством для умеренных значений. Калькулятор использует точные проверки целочисленного остатка, а не статистическую оценку, поэтому каждый ответ в допустимом диапазоне детерминирован. JavaScript точно представляет обычные целые числа лишь до предела безопасных целых, поэтому ввод ограничен этим диапазоном. Для чрезвычайно больших криптографических кандидатов требуются специальные алгоритмы длинной арифметики, например Миллера — Рабина с последующими более сильными методами доказательства. Для учебных задач, проверки множителей, изучения последовательностей и повседневной теории чисел применяемый здесь точный метод до квадратного корня прост и надёжен. Введите неотрицательное целое число, чтобы узнать его тип и ближайших простых соседей.