Калькулятор функций Бесселя

Функции Бесселя — специальные функции, возникающие при разделении дифференциальных уравнений с цилиндрической или радиальной симметрией на более простые части. Они встречаются в моделях колебаний круглых мембран, теплопроводности в цилиндрах, электромагнитных волн в круглых волноводах, акустических мод, дифракции, движения жидкости и многих других задач. Обычное уравнение Бесселя имеет два независимых семейства решений. J порядка n называется функцией Бесселя первого рода и при неотрицательных целых порядках конечна в начале координат. Y порядка n — решение второго рода, сингулярное в нуле, поэтому калькулятор требует для Y положительный аргумент. Модифицированные функции I и K решают связанное уравнение, получаемое изменением знака члена с квадратом аргумента. При положительных аргументах I обычно растёт экспоненциально, а K экспоненциально убывает. Это различие полезно в краевых задачах, где одно радиальное решение должно оставаться ограниченным вблизи центра, а другое — затухать вдали от источника. K сингулярна в нуле и здесь также требует положительного аргумента. Выбор семейства определяется дифференциальным уравнением и граничными условиями, а не только удобством вычислений. Для J и I целого порядка калькулятор вычисляет сходящиеся степенные ряды. Новые члены суммируются, пока их вклад не станет пренебрежимо малым при обычной точности чисел с плавающей точкой. Для Y и K устойчивые приближения дают базовые порядки ноль и один, после чего более высокие целые порядки находятся по стандартным рекуррентным соотношениям. Эти методы дают практически полезные инженерные значения в широком повседневном диапазоне. Очень большие порядки или аргументы могут затруднить любые браузерные вычисления с плавающей точкой: колебания, потеря точности при вычитании, переполнение или потеря порядка могут уничтожить значащие цифры. Порядок n задаёт радиальную моду и в этом инструменте должен быть неотрицательным целым числом. Аргумент x математической функции безразмерен. В физических задачах он часто представляет произведение, например волнового числа на радиус, поэтому единицы сокращаются до вычисления. Результаты следует трактовать вместе с моделью и её нормировкой. Для чувствительных исследовательских расчётов сравнивайте значения со специализированной численной библиотекой и при необходимости повышайте точность. Проверить результат помогают несколько тождеств. J нулевого порядка и I нулевого порядка в нуле равны единице, а все J и I положительного целого порядка обращаются в ноль в начале координат. Соседние порядки удовлетворяют рекуррентным формулам, а нули колеблющихся функций J и Y перемежаются. Примеры ниже содержат известные справочные значения и показывают различия между обычными и модифицированными семействами.