Калькулятор полярного момента инерции

Полярный момент инерции площади, обычно обозначаемый J, описывает распределение площади сечения относительно оси, перпендикулярной сечению. Его размерность — длина в четвёртой степени. Чем больше значение, тем большая часть площади удалена от полярной оси, что обычно повышает сопротивление круглого вала касательным напряжениям и угловому закручиванию. Калькулятор принимает размеры в метрах и выдаёт J в метрах в четвёртой степени. Для сплошного круга диаметром d справедливо J = πd⁴ / 32. Для кольца с наружным диаметром D и внутренним d: J = π(D⁴ - d⁴) / 32. Зависимость от четвёртой степени объясняет эффективность размещения материала снаружи: полый вал может сохранять значительную способность сопротивляться кручению при меньшем расходе материала, чем сплошной вал близкого наружного диаметра. Внутренний диаметр должен быть меньше наружного, а все размеры должны иметь одинаковые единицы. Для любой плоской области полярный момент инерции относительно точки равен сумме двух моментов инерции площади относительно взаимно перпендикулярных осей через эту точку: J = Ix + Iy. Для прямоугольника с осью через центр тяжести это даёт J = bh(b² + h²) / 12. Однако этот полярный момент прямоугольника в общем случае не совпадает с постоянной кручения Сен-Венана, используемой для расчёта угла закручивания и касательных напряжений в некруглом стержне. Различие важно, поскольку некруглые сечения при кручении депланируют. Калькулятор обозначает результат для прямоугольника как полярный момент инерции площади; его нельзя без проверки подставлять в формулу закручивания вала. Для круглых валов соотношения упругого кручения включают максимальное касательное напряжение τmax = Tr / J и угол закручивания θ = TL / (GJ), где T — крутящий момент, r — наружный радиус, L — длина вала, G — модуль сдвига. Они предполагают однородный линейно-упругий материал, малые деформации, постоянную круглую геометрию и нагрузку вокруг продольной оси через центр тяжести. Шпоночные пазы, шлицы, трещины, резкие изменения диаметра и концентрации напряжений требуют дополнительного анализа. Используйте размеры фактически несущего нагрузку сечения и соблюдайте согласованность единиц. Если размеры введены в миллиметрах, численный результат будет в миллиметрах в четвёртой степени, а не в метрах в четвёртой; перед сравнением с расчётом в SI выполните перевод. Результат подходит для учебных задач, предварительного подбора размеров и проверки формул. При детальном проектировании машин также нужно оценивать прочность, усталость, прогиб, производственные допуски, концентрации напряжений и применимость теории кручения к выбранной форме.