Calculadora da reta de interseção de dois planos

Encontre um ponto, o vetor diretor e a equação paramétrica da reta comum a dois planos em 3D.

Insira duas equações de planos
Use os coeficientes de ax + by + cz + d = 0.
Plano 1
Plano 2

Sobre a reta de interseção

Dois planos não paralelos no espaço tridimensional se encontram ao longo de uma reta. Esta calculadora aceita cada plano na forma padrão ax + by + cz + d = 0 e retorna um ponto da reta comum, um vetor diretor e uma equação vetorial paramétrica. Os quatro coeficientes descrevem a orientação e o deslocamento de cada plano. Multiplicar todos os coeficientes de uma equação pelo mesmo número diferente de zero não altera o plano. A direção da reta de interseção vem do produto vetorial das normais dos dois planos. Um plano escrito como ax + by + cz + d = 0 tem vetor normal (a, b, c). Um vetor perpendicular às duas normais é paralelo aos dois planos, portanto o produto vetorial de n1 e n2 fornece uma direção válida. A calculadora então fixa uma coordenada e resolve as duas equações simultâneas restantes para encontrar um ponto conveniente na reta. Qualquer múltiplo escalar não nulo do vetor diretor exibido representa a mesma reta geométrica, e um ponto diferente também pode descrever a mesma resposta. Se o produto vetorial for o vetor nulo, as normais são paralelas. Nesse caso, os planos são distintos e nunca se encontram, ou coincidem e compartilham infinitas retas. Nenhum dos casos possui uma única reta de interseção, então a calculadora informa essa situação em vez de inventar um resultado. Valores muito pequenos são tratados com cuidado para evitar a exibição de zero negativo causado pela aritmética de ponto flutuante. Retas de interseção aparecem em geometria analítica, computação gráfica, CAD, modelagem estrutural e cálculo multivariável. Você pode verificar o resultado substituindo o ponto exibido nas duas equações originais. Também pode somar qualquer múltiplo do vetor diretor a esse ponto; cada tripla de coordenadas resultante deve satisfazer as duas equações. A forma paramétrica é especialmente útil para encontrar pontos, verificar interseções com outros objetos ou converter a reta para a forma simétrica quando todas as componentes da direção são diferentes de zero.

Exemplos

Estes pares de planos ilustram configurações comuns de interseção.

Equações dos planosInterseçãoVerificação
x + y + z - 1 = 0; x - y + z - 1 = 0r = (0, 0, 1) + t(2, 0, -2)As duas equações resultam em zero ao longo da reta.
x + y - 2 = 0; z - 3 = 0r = (2, 0, 3) + t(1, -1, 0)A reta permanece no plano horizontal z = 3.
x = 0; y = 0r = (0, 0, 0) + t(0, 0, 1)Os dois planos coordenados se encontram no eixo z.

Como usar a calculadora

  1. Reescreva cada plano com todos os termos à esquerda e zero à direita.
  2. Digite os coeficientes de x, y, z e o termo constante do Plano 1.
  3. Digite os quatro coeficientes correspondentes do Plano 2.
  4. Selecione Calcular interseção para obter um ponto, uma direção e a equação paramétrica.

Perguntas frequentes

Como o vetor diretor é encontrado?

A calculadora faz o produto vetorial dos dois vetores normais. O resultado é perpendicular às duas normais e, portanto, paralelo aos dois planos.

Por que minha resposta pode parecer diferente de outra correta?

Uma reta tem infinitos pontos e seu vetor diretor pode ser multiplicado por qualquer escalar não nulo. Assim, equações paramétricas diferentes podem descrever exatamente a mesma reta.

O que acontece quando os planos são paralelos?

Normais paralelas têm produto vetorial nulo, então não é possível calcular uma direção única. Planos paralelos distintos nunca se cruzam, enquanto planos coincidentes compartilham infinitas retas.

Como posso verificar o resultado?

Substitua o ponto exibido nas duas equações e confirme que cada expressão resulta em zero. Depois, confira se o produto escalar de cada normal com o vetor diretor é zero.

O coeficiente d precisa ser negativo?

Não, d pode ser positivo, negativo ou zero. Basta inserir a equação exatamente na forma ax + by + cz + d = 0.