Calculadora de inverso multiplicativo modular

Um inverso multiplicativo módulo m é um inteiro que desfaz uma multiplicação na aritmética modular. Para um inteiro a, um inverso x satisfaz a condição de que a vezes x deixa resto 1 ao ser dividido por m. Isso costuma ser escrito como a vezes x congruente a 1 módulo m. Por exemplo, 3 vezes 4 é 12, e 12 deixa resto 1 ao ser dividido por 11; portanto, 4 é o inverso multiplicativo de 3 módulo 11. Nem todo par de inteiros possui inverso. A condição necessária e suficiente é que a e m sejam coprimos, ou seja, que seu máximo divisor comum seja 1. Considere 6 módulo 9: todo múltiplo de 6 compartilha o fator 3 com 9, então nenhum pode deixar resto 1. Já 7 e 26 têm MDC 1, e o inverso de 7 módulo 26 é 15, pois 105 deixa resto 1 após a divisão por 26. A calculadora verifica o MDC antes de apresentar a resposta. O algoritmo estendido de Euclides encontra o inverso de forma eficiente. O algoritmo comum repete divisões e calcula restos para obter o máximo divisor comum. A versão estendida também acompanha coeficientes para expressar o MDC como combinação inteira dos valores originais. Quando o MDC é 1, o coeficiente que multiplica a é um inverso. Esse coeficiente pode ser negativo; por isso, a calculadora o reduz módulo m e exibe o menor representante não negativo, de zero até m menos um. Os inversos modulares permitem dividir em um sistema de congruências. Para resolver a vezes x congruente a b módulo m, multiplique b pelo inverso de a, desde que ele exista. Eles são importantes em congruências lineares, no teorema chinês do resto, em frações modulares, hashing, detecção de erros e criptografia de chave pública. A geração de chaves RSA, por exemplo, inclui encontrar o inverso de um expoente módulo um valor da função totiente. Implementações criptográficas reais usam bibliotecas de precisão arbitrária rigorosamente auditadas, não números comuns do navegador. Insira apenas inteiros e use um módulo maior que 1. Valores negativos de a são válidos, pois todo inteiro negativo tem um menor resíduo não negativo equivalente módulo m. A calculadora usa inteiros seguros do JavaScript, adequados para exercícios em sala e problemas de teoria dos números de tamanho moderado. Ela mostra o MDC e uma verificação por multiplicação, permitindo confirmar que o inverso realmente produz resto 1. Para entradas criptográficas muito grandes, use software projetado para inteiros grandes e cálculos sensíveis à segurança.