Calculadora de ortocentro

O ortocentro é a interseção comum das três alturas de um triângulo. Uma altura é uma reta que passa por um vértice e é perpendicular à reta que contém o lado oposto. Desenhar as três facilita reconhecer a construção, mas apenas duas são necessárias para calcular: quando duas alturas distintas se cruzam, a terceira passa pelo mesmo ponto. Essa concorrência é um teorema fundamental da geometria euclidiana. A posição do ortocentro depende dos ângulos do triângulo. Em um triângulo acutângulo, as três alturas se encontram no interior. Em um triângulo retângulo, os catetos já são alturas perpendiculares, então o ortocentro é o vértice do ângulo reto. Em um triângulo obtusângulo, as alturas se cruzam fora, pois pelo menos dois lados opostos precisam ser prolongados. Uma coordenada externa é, portanto, um resultado válido, e não uma falha no cálculo. A geometria analítica traduz a perpendicularidade em produtos escalares. A reta do vértice A ao ponto desconhecido H é uma altura quando o vetor H menos A é perpendicular ao lado BC. O produto escalar deve ser zero. Uma segunda equação exige que H menos B seja perpendicular ao lado AC. Expandir os dois produtos gera um sistema linear de duas equações com as coordenadas x e y de H como incógnitas. A calculadora resolve o sistema diretamente, sem fórmulas de inclinação que exigem casos especiais para retas verticais. Se os três pontos forem colineares, não definirão um triângulo. As equações das alturas não terão uma interseção única, o que aparece algebricamente como um determinante nulo. A calculadora detecta essa condição e solicita vértices não colineares. Pontos repetidos são rejeitados pelo mesmo motivo geométrico. Coordenadas decimais e negativas são aceitas, então o método funciona em todos os quadrantes e não exige lados paralelos aos eixos. O ortocentro é um dos quatro centros clássicos do triângulo. O baricentro é a interseção das medianas, o incentro a das bissetrizes e o circuncentro a das mediatrizes. Em um triângulo geral, são pontos diferentes. O baricentro, o circuncentro e o ortocentro ficam na reta de Euler, e suas posições seguem uma proporção simples. Em um triângulo equilátero, a simetria faz os quatro centros coincidirem. Esta calculadora é útil para geometria analítica, conferência de construções gráficas, exercícios sobre centros do triângulo e computação gráfica. Insira cada par ordenado com cuidado, preservando a associação entre as coordenadas x e y. O resultado é arredondado para facilitar a leitura, mas as equações usam toda a precisão de ponto flutuante do JavaScript. Substituir o resultado em qualquer uma das equações de produto escalar permite verificá-lo diretamente.