Calculadora de polinômio característico

O polinômio característico reúne informações essenciais de uma matriz quadrada em um único polinômio. Suas raízes são os autovalores da matriz, que descrevem direções ou estados escalados sem sair da mesma direção linear sob a transformação associada. Esta calculadora avalia o polinômio de uma matriz real 2 por 2 e também informa seu traço e determinante. Para uma matriz com a e b na primeira linha e c e d na segunda, o polinômio característico mônico é p(λ) = det(λI - A). A expansão do determinante resulta em λ ao quadrado menos (a + d) vezes λ mais (ad - bc). A quantidade a + d é o traço, enquanto ad - bc é o determinante. Em uma matriz 2 por 2, esses dois valores determinam completamente o polinômio característico. Alguns livros definem o polinômio como det(A - λI). Em matrizes de ordem par, como as de 2 por 2, isso produz o mesmo polinômio, portanto não há ambiguidade de sinal aqui. Em dimensões ímpares, as convenções diferem por um sinal negativo global, mas suas raízes são idênticas. A convenção mônica usada aqui mantém o coeficiente principal igual a um e é comum em álgebra linear. Polinômios característicos são usados no cálculo de autovalores, análise de estabilidade, equações diferenciais, relações de recorrência, mecânica quântica, sistemas de controle e ciência de dados. Uma matriz diagonal fornece o exemplo mais simples: seus autovalores são os elementos da diagonal, e seu polinômio é o produto dos fatores λ menos cada elemento diagonal. Uma raiz múltipla indica um autovalor repetido, mas é preciso analisar mais para saber se há autovetores independentes em quantidade suficiente. Insira números inteiros ou decimais comuns, linha por linha, da esquerda para a direita. A calculadora obtém primeiro o traço e o determinante e os substitui na forma quadrática geral. Os resultados decimais podem ser arredondados na exibição, por isso frações exatas ainda podem ser preferíveis em demonstrações simbólicas. Para encontrar os autovalores numéricos depois, resolva a equação quadrática exibida por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara.