Calculadora do paradoxo das caixas de Bertrand

O paradoxo das caixas de Bertrand é um enigma clássico de probabilidade condicional. Na forma padrão, três caixas contêm duas moedas cada: uma tem duas de ouro, outra uma de ouro e uma de prata, e outra duas de prata. Uma caixa é escolhida uniformemente, uma moeda é retirada uniformemente e a moeda observada é de ouro. A pergunta é qual a probabilidade de a moeda não vista na caixa escolhida também ser de ouro. Uma intuição rápida, mas incorreta, responde metade, pois apenas as caixas ouro-ouro e ouro-prata continuam possíveis. O detalhe esquecido é que essas duas caixas não são igualmente prováveis após observar ouro. A caixa ouro-ouro tem dois resultados que podem produzir essa observação, enquanto a ouro-prata tem apenas um. Entre os três resultados de ouro igualmente prováveis, dois pertencem à caixa ouro-ouro. Portanto, a probabilidade condicional de a outra moeda ser de ouro é 2/3, ou cerca de 66.67%. A observação altera a probabilidade relativa das caixas, que é a lição central do paradoxo. Esta calculadora generaliza o enigma ao permitir várias caixas de cada tipo. Com G caixas ouro-ouro e M caixas ouro-prata, há 2G resultados de ouro no primeiro grupo e M no grupo misto. Dado que se observou ouro, a probabilidade de ter escolhido uma caixa ouro-ouro é 2G dividido por 2G + M. Caixas prata-prata não aparecem na fórmula porque não podem produzir a observação de ouro, embora façam parte do experimento antes de qualquer moeda ser vista. O enigma demonstra de forma compacta o teorema de Bayes, os efeitos de seleção e a importância de contar resultados à luz da evidência. Ele se assemelha à interpretação de exames médicos, à amostragem de controle de qualidade e a situações em que uma observação é mais provável sob uma causa oculta do que outra. A resposta depende das hipóteses de amostragem: todas as caixas devem ter a mesma chance de seleção, assim como cada moeda da caixa escolhida deve ter a mesma chance de retirada. Se as probabilidades diferirem, os pesos precisam ser incluídos explicitamente. Altere as quantidades para ver como duplicar tipos de caixa muda a probabilidade posterior, preservando o mesmo raciocínio condicional.