Calculadora do paradoxo de Bertrand

Calcule a probabilidade do clássico paradoxo das caixas e o resultado esperado em tentativas repetidas.

Calculadora de tentativas condicionais
Modele o experimento clássico de três caixas sabendo que a primeira moeda retirada é de ouro.

Uma tentativa condicional é aquela em que a primeira moeda observada era de ouro.

Entendendo o paradoxo de Bertrand

Esta versão do paradoxo de Bertrand é o famoso problema de probabilidade condicional das três caixas, também chamado paradoxo das caixas de Bertrand. Três caixas visualmente idênticas contêm pares diferentes de moedas: duas de ouro na primeira, uma de ouro e uma de prata na segunda, e duas de prata na terceira. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma moeda é retirada ao acaso. Ao observar que a moeda é de ouro, pergunta-se qual é a probabilidade de a moeda restante também ser de ouro. É tentador descartar a caixa prata-prata e considerar as outras duas igualmente prováveis, chegando a um meio. Esse raciocínio ignora a probabilidade da evidência. A caixa ouro-ouro pode revelar ouro de duas maneiras diferentes, enquanto a caixa ouro-prata só pode fazê-lo de uma. Condicionado à observação de ouro, existem três posições equiprováveis que produzem ouro. Duas pertencem à caixa ouro-ouro, então a probabilidade exata de outra moeda de ouro é 2/3, aproximadamente 66.67%. A calculadora aplica essa probabilidade teórica exata ao número escolhido de tentativas condicionais. Multiplicar a quantidade de tentativas por 2/3 fornece o número esperado de casos em que a moeda não vista é de ouro. Como uma esperança pode ser fracionária, mas uma contagem observada precisa ser inteira, o resultado é arredondado para o inteiro mais próximo. Não são geradas amostras aleatórias, portanto os cálculos repetidos são determinísticos. Uma simulação real de Monte Carlo oscilaria em torno dessa esperança e, em geral, se aproximaria da proporção de dois terços à medida que as tentativas aumentassem. O paradoxo ensina uma lição geral sobre probabilidade condicional: as explicações possíveis devem ser ponderadas pela facilidade com que produzem a observação. Esse princípio fundamenta o teorema de Bayes e aparece em testes diagnósticos, triagem, análise de confiabilidade e classificação. O cenário também exige hipóteses claras de amostragem. Cada caixa deve ter a mesma chance inicial de seleção, e cada moeda da caixa escolhida deve ter a mesma chance de ser retirada. Pesos de seleção diferentes mudariam a resposta. Insira várias quantidades de tentativas para distinguir a probabilidade teórica fixa da contagem esperada variável e lembre-se de que os totais reais podem diferir por variação aleatória.

Exemplos de resultados esperados

A probabilidade permanece em dois terços, enquanto a contagem esperada varia com as tentativas.

Tentativas condicionaisSegundas moedas de ouro esperadasCálculo
302030 multiplicado por 2/3 é igual a 20.
300200A proporção esperada permanece em 66.67%.
1,5001,000Um experimento maior ainda usa a mesma probabilidade condicional.

Como calcular o resultado esperado

  1. Escolha quantas tentativas já produziram uma primeira moeda de ouro.
  2. Insira esse inteiro positivo no campo de tentativas.
  3. Selecione Calcular resultado esperado para aplicar a probabilidade exata de dois terços.
  4. Compare a probabilidade fixa com a quantidade esperada de segundas moedas de ouro.

Perguntas frequentes

Esta é a versão das cordas do paradoxo de Bertrand?

Não. Esta calculadora aborda o paradoxo das três caixas com moedas e a probabilidade condicional. O paradoxo da corda aleatória é outro problema, que depende de como uma corda ao acaso é definida.

Por que a probabilidade é sempre dois terços?

O conteúdo clássico das caixas e as hipóteses de amostragem uniforme são fixos. Das três posições que podem produzir ouro, duas têm outra moeda de ouro ao lado.

Os resultados esperados são garantidos?

Não. A contagem esperada é uma média de longo prazo, não um total experimental garantido. Amostras aleatórias podem ficar acima ou abaixo dela.

Por que a calculadora usa tentativas condicionais?

O paradoxo trata das tentativas em que ouro já foi observado, por isso as observações de prata são excluídas. Condicionar a essa evidência é o que muda as probabilidades das caixas.

Como uma seleção enviesada das caixas mudaria a resposta?

Seria preciso multiplicar a probabilidade prévia de escolher cada caixa pela chance de ela produzir ouro. O resultado simples de dois terços só vale quando todas as caixas e posições de moedas são amostradas uniformemente.