Calculadora de arranjos

Um arranjo é uma disposição em que a ordem importa. Se três finalistas recebem ouro, prata e bronze, atribuir as medalhas às mesmas pessoas em outra ordem gera um resultado diferente. Isso distingue arranjos de combinações, nas quais só importa quem faz parte do grupo. A calculadora conta seleções ordenadas entre n itens disponíveis para ocupar r posições e aceita tanto o modelo sem repetição quanto o que permite repetir. Sem repetição, cada item só pode ser usado uma vez. Há n escolhas para a primeira posição, n menos uma para a segunda, e assim por diante até preencher r posições. Multiplicar essas quantidades dá P(n,r) = n! / (n-r)!. Para cinco itens tomados três de cada vez, o resultado é 5 × 4 × 3 = 60. A calculadora avalia diretamente esse produto decrescente, evitando fatoriais desnecessários e produzindo o mesmo inteiro exato para entradas de tamanho prático. Com repetição, cada posição pode usar qualquer um dos n itens, inclusive um já usado. Pelo princípio multiplicativo, são n escolhas para cada uma das r posições, totalizando n elevado a r. Um código de três caracteres formado por quatro símbolos permitidos tem 4 × 4 × 4 = 64 sequências possíveis. Esse modelo serve para PINs, strings, ensaios repetidos, amostragem com reposição e situações em que cada escolha deixa todas as opções disponíveis novamente. Arranjos aparecem em probabilidade, computação, pesquisa operacional, programação de tarefas e planejamento cotidiano. Contam ordens de chegada, mapas de assentos, sequências de tarefas, rotas, votos por preferência, senhas candidatas e atribuições de funções distintas. Identificar se a ordem importa é o primeiro passo. Escolher Alice e Ben para um comitê sem cargos é uma combinação; atribuir a presidência a Alice e a secretaria a Ben difere da atribuição inversa, portanto essas designações são arranjos. n e r devem ser inteiros não negativos, pois representam contagens. Sem repetição, r não pode ultrapassar n, já que faltariam itens distintos para preencher as posições. O caso r = 0 tem um resultado: o arranjo vazio. As contagens crescem muito rapidamente; fora do intervalo de inteiros seguros, o navegador pode passar a exibir um valor aproximado em ponto flutuante. Para questões comuns de aula, probabilidade e planejamento, o resultado oferece uma contagem rápida e transparente. Antes de usar o resultado como denominador de uma probabilidade, confirme que todos os arranjos são igualmente prováveis e que a regra de repetição corresponde ao experimento. Restrições como posições proibidas, símbolos obrigatórios, objetos indistinguíveis ou itens repetidos na coleção original exigem métodos adicionais. Para os cenários nPr padrão descritos aqui, a calculadora fornece a fórmula convencional e uma resposta imediata.