베르트랑 상자 역설 계산기

베르트랑 상자 역설은 고전적인 조건부 확률 문제입니다. 기본 형태에는 동전이 두 개씩 든 상자 세 개가 있습니다. 한 상자는 금화 두 개, 다른 상자는 금화 하나와 은화 하나, 나머지는 은화 두 개를 담고 있습니다. 상자를 같은 확률로 하나 고르고, 그 안에서 동전을 같은 확률로 하나 뽑았더니 금화였습니다. 선택한 상자에 남아 있는 보이지 않는 동전도 금화일 확률을 묻는 문제입니다. 금화·금화 상자와 금화·은화 상자만 가능하므로 이분의 일이라고 직감하기 쉽지만 틀린 답입니다. 빠뜨린 점은 금화를 관측한 뒤에는 두 상자의 가능성이 같지 않다는 것입니다. 금화·금화 상자에는 그 관측을 만들 수 있는 동전이 두 개지만 금화·은화 상자에는 하나뿐입니다. 가능성이 같은 금화 추출 결과 세 가지 중 두 가지가 금화·금화 상자에 속합니다. 따라서 남은 동전도 금화일 조건부 확률은 2/3, 약 66.67%입니다. 관측이 상자의 상대적 가능성을 바꾼다는 점이 역설의 핵심입니다. 이 계산기는 각 유형의 상자를 여러 개 지정하여 문제를 일반화합니다. 금화·금화 상자가 G개이고 금화·은화 상자가 M개이면, 첫 집단의 금화 결과는 2G개이고 혼합 집단에서는 M개입니다. 금화를 관측했다는 조건에서 금화·금화 상자를 골랐을 확률은 2G를 2G + M으로 나눈 값입니다. 은화·은화 상자는 금화 관측을 만들 수 없어 식에 나타나지 않지만 동전을 보기 전의 실험에는 포함됩니다. 이 문제는 베이즈 정리, 선택 효과, 증거에 맞춰 결과를 세는 일의 중요성을 간결하게 보여 줍니다. 의료 검사 해석이나 품질 관리 표본 추출처럼 숨은 원인에 따라 같은 관측의 가능성이 달라지는 상황과 비슷합니다. 답은 추출 가정에 달려 있습니다. 모든 상자의 선택 확률이 같고, 선택한 상자 안의 각 동전도 같은 확률로 뽑혀야 합니다. 선택 확률이 다르면 그 가중치를 명시적으로 반영해야 합니다. 상자 개수를 바꾸며 같은 조건부 추론을 유지한 채 특정 유형을 늘리면 사후 확률이 어떻게 달라지는지 확인하세요.