팩토리얼 계산기

음이 아닌 정수 n의 팩토리얼은 n부터 1까지 모든 양의 정수의 곱입니다. n!로 표기하며, 5!은 5 곱하기 4 곱하기 3 곱하기 2 곱하기 1, 즉 120입니다. 새로운 값을 구할 때마다 이전 결과에 더 큰 정수를 곱하므로 팩토리얼은 매우 빠르게 커집니다. 20!만 해도 이미 이백 경을 넘습니다. 특히 중요한 기본 사례가 두 가지 있습니다. 1!은 1이며, 수학에서는 0!도 1로 정의합니다. 영의 경우가 처음에는 의외일 수 있지만, 이 정의는 재귀 항등식 n! = n 곱하기 (n - 1)!을 유지하고 경우의 수 공식에 일관성을 줍니다. 영 개의 물체를 배열하거나 집합에서 영 개를 고르는 방법은 정확히 하나이므로 해당 경우의 수는 일이어야 합니다. 팩토리얼은 조합론의 핵심입니다. 서로 다른 n개 물체를 나열하는 순서는 n!가지입니다. 서로 다른 책 여덟 권을 책장에 놓으면 8!, 즉 40,320가지 배열이 가능합니다. 조합과 순열은 팩토리얼의 비를 사용해 순서를 고려하지 않거나 고려하는 선택의 수를 구합니다. 확률 공식은 이 경우의 수로 카드 패, 복권 선택, 일정, 실험 결과의 가능성을 계산합니다. 팩토리얼은 대수학, 미적분학, 통계학, 컴퓨터 과학에도 등장합니다. 테일러 급수는 팩토리얼 분모를 사용해 지수, 사인, 코사인 같은 함수를 나타냅니다. 푸아송 분포와 이항 분포에도 팩토리얼 항이 포함됩니다. 알고리즘 분석에서는 가능한 모든 순서를 탐색하는 절차를 팩토리얼 시간으로 설명하며, 이런 증가율은 입력 크기가 그리 크지 않아도 실용적인 계산을 어렵게 만듭니다. 이 계산기는 부동소수점 곱셈 대신 정수 연산을 사용하므로 지원 범위에서 표시되는 모든 자릿수가 정확합니다. 입력 상한 170은 기존 도구의 실용적인 경계를 따르고 출력 길이를 다루기 쉽게 유지하기 위한 것입니다. 정수 연산 자체는 더 큰 결과도 나타낼 수 있습니다. 여기서는 팩토리얼을 음이 아닌 정수에만 정의합니다. 감마 함수는 이 개념을 많은 비정수와 복소수 값으로 확장하지만, 별도 연산이므로 이 도구에서는 계산하지 않습니다. 매우 큰 팩토리얼을 대략 추정할 때는 스털링 근사를 쓸 수 있습니다. n!을 이 곱하기 원주율 곱하기 n의 제곱근에 (n 나누기 e)^n을 곱한 식으로 근사합니다. n이 커질수록 근사는 좋아지지만 전체 정수가 필요할 때는 정확한 계산기가 더 적합합니다. 결과를 경우의 수 문제, 공식 확인, 수업 연습, 팩토리얼 증가가 일반적인 지수 증가를 얼마나 빠르게 앞서는지 비교하는 데 활용하세요.