복소수 계산기

복소수는 실수부와 허수부를 a + bi 형태로 결합한 수이며 i² = -1입니다. 실수 계수 a는 복소평면의 수평 위치를, 허수 계수 b는 수직 위치를 나타냅니다. 복소수는 실수 체계를 확장해 x² + 1 = 0 같은 방정식에 해를 부여하며 진동, 회전, 전기 임피던스, 파동 등 여러 수학적 모델을 간결하게 표현합니다. 덧셈과 뺄셈은 성분별로 계산합니다. a + bi와 c + di를 더하려면 a와 c, b와 d를 각각 더합니다. 뺄셈도 같은 구조에서 차를 구합니다. 이는 이차원 벡터의 덧셈과 뺄셈과 비슷합니다. 실수항과 허수항을 별도 열로 정리하면 부호 오류를 줄일 수 있으며, 특히 하나 이상의 계수가 음수일 때 유용합니다. 곱셈은 일반적인 분배법칙과 i² = -1을 함께 사용합니다. (a + bi)(c + di)를 전개하면 ac + adi + bci + bdi²입니다. i²를 -1로 바꾸고 항을 정리하면 실수부는 ac - bd, 허수부는 ad + bc가 됩니다. 곱셈에는 기하학적 의미도 있습니다. 절댓값은 곱해지고 편각은 더해지므로 복소평면에서 크기 조절과 회전을 결합하는 연산입니다. 나눗셈은 켤레복소수로 분모를 실수화합니다. (a + bi)/(c + di)의 분자와 분모에 c - di를 곱하면 분모는 c² + d²가 됩니다. 결과의 실수부는 (ac + bd)/(c² + d²), 허수부는 (bc - ad)/(c² + d²)입니다. c와 d가 모두 영일 때만 분모의 절댓값 제곱이 영이 되므로 나눗셈이 정의되지 않습니다. 네 계수 모두 정수, 음수, 소수를 입력할 수 있습니다. 결과는 배정밀도 연산으로 계산하며 표시할 때 소수점 이하 여덟 자리로 반올림합니다. 매우 작은 부동소수점 오차는 영으로 표시합니다. 답은 실수부와 허수부가 바로 보이는 직교형으로 유지되며, 허수부가 음수일 때의 마이너스 부호를 포함해 부호 형식이 자동으로 정리됩니다. 복소수 연산은 대수, 제어 시스템, 통신, 양자역학, 유체역학, 신호 처리에 사용됩니다. 소프트웨어로 계산하더라도 성분 공식을 이해하면 결과를 해석하고 오류를 발견하는 데 도움이 됩니다. 각 결과 아래의 연산 설명을 간단한 규칙 안내로 활용하고, 중요한 나눗셈 결과는 몫에 원래 제수를 곱해 확인하세요.