双線形補間計算機

双線形補間は、矩形の四隅の値が既知のとき、内部の点の値を推定する方法です。通常の線形補間を二次元に拡張したもので、一本の直線を当てはめる代わりに両座標方向で値を混合します。画像のリサンプリング、格子状の科学データの評価、コンピューターグラフィックスのテクスチャマッピング、表の値の推定、矩形メッシュ上の測定値からの滑らかな近似などに広く使われます。 四隅の値は通常、座標に対応づけて表します。左下は x1 と y1、右下は x2 と y1、左上は x1 と y2、右上は x2 と y2 に対応し、目標点は x と y です。計算機は水平・垂直方向の正規化位置を求め、各隅と反対側にある矩形の面積に応じて重みを付けます。目標に近い隅ほど重みが大きく、遠い隅ほど小さくなります。点が矩形内にあれば、四つの重みの合計は一です。 アルゴリズムは、線形補間を順に二段階行うものとも理解できます。まず下辺の二つの値と上辺の二つの値をそれぞれ水平方向に補間し、得た二つの中間値を垂直方向に補間します。左右の辺で垂直に補間してから水平に補間しても答えは同じです。この対称性は実装の確認に役立ち、最終式に水平因子と垂直因子の積が現れる理由でもあります。 この方法は各隅の値を正確に再現します。また、y を固定したとき x に対して線形、x を固定したとき y に対して線形な関数も、x と y の積の交差項を含む曲面を含めて再現できます。ただし、一般の曲がった曲面を正確に再現するわけではありません。実際の曲面の曲がりが強い場合、格子を細かくするか、双三次補間などの高次の方法で近似誤差を減らせます。それでも双線形補間は、高速で連続性があり、検証しやすく、四つの標本だけで済むため広く使われています。 幅や高さがゼロの矩形では補間比率を定義できないため、各軸の両端は異なる値にする必要があります。式は矩形外への外挿にも使えますが、一つ以上の重みが負になるため、既知のデータ範囲外の推定は信頼性が低い場合があります。各軸内で座標の単位を統一し、四隅の値が同じ測定量を表すことを確認してください。結果の単位は四隅の値と同じになります。