線形独立計算機

ベクトルの組が線形独立であるとは、線形結合が零ベクトルになる係数が、すべてゼロの場合に限られることです。三つのベクトル v1、v2、v3 では、c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 から必ず c1 = c2 = c3 = 0 が導かれます。すべてがゼロではない係数でも零ベクトルになるなら、その組は線形従属です。直感的には、従属するベクトルはほかのベクトルの組み合わせで表せるため、新しい方向を加えません。 この計算機は入力された三つのベクトルを行列に並べ、ガウスの消去法で階数を求めます。行基本変形はベクトル間の線形関係を保ちながら、ピボットの数を明らかにします。階数がベクトル数に等しければ、各ベクトルが新しいピボットを与えるため線形独立です。階数が三未満なら少なくとも一つは冗長で、線形従属です。各成分が同じ座標位置に対応するよう、ベクトルの次元はそろえる必要があります。 次元による制約もあります。二次元空間の三つのベクトルは、行列の階数が最大でも二なので必ず従属します。三次元以上では三つのベクトルが独立になる可能性はありますが、必ずそうなるわけではありません。標準基底ベクトル (1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1) は独立です。一方、(1, 2, 3) と (2, 4, 6) は同じ直線方向を向いており、この両方を含む組には既にスカラー倍の関係があります。 線形独立性は座標表示の一意性、行列が可逆になり得るか、方程式に冗長な情報が含まれるかを左右します。連立方程式の解法、基底の構成、変換の解析、モデルの当てはめ、信号分離の基礎となります。結果は表示された階数と入力ベクトル数を比較して解釈してください。階数が三のフルランクなら独立、それ未満なら従属です。小数入力にも対応しますが、浮動小数点の丸め誤差が偽のピボットを作らないよう、ゼロに極めて近い値は数値的なゼロとして扱います。