最小二乗回帰直線計算機

最小二乗回帰直線は最適フィット線とも呼ばれ、各観測データ点と直線の垂直距離の二乗和を最小にする直線です。対応する (x, y) 観測データセットでは、回帰直線は ŷ = mx + b の形をとり、m は傾き、b は y 切片です。残差を二乗してから合計することで、小さな偏差より大きな偏差を強く罰し、正と負の誤差が相殺されるのを防ぎます。 傾きと切片の式は、総二乗誤差を m と b について偏微分し、それぞれをゼロと置くことで導かれます。結果は、m = (n·Σxy − Σx·Σy) / (n·Σx² − (Σx)²)、b = (Σy − m·Σx) / n です。n はデータ点数を表します。この計算機は厳密な閉形式の式を使用するため、反復近似なしで数学的に正確な結果を得られます。 相関係数 r は、データが回帰直線の周囲にどれだけ密集しているかを測り、−1 から +1 の範囲をとります。+1 に近い値は強い正の線形関係（x の増加に比例して y も増加）を、−1 に近い値は強い負の線形関係を示します。0 に近い値は、線形な関連がほとんどない、またはないことを示します。決定係数 R² = r² は、y の分散のうち x で説明される割合を示します。たとえば R² = 0.90 は、回帰直線が y 値の変動の 90% を説明することを意味します。 最小二乗回帰は、科学、工学、経済学、社会科学、機械学習で広く使われます。代表的な用途には、広告費からの売上予測、気温とエネルギー消費の関係のモデル化、機器の校正、時系列データへのトレンドラインの当てはめ、重回帰や多項式回帰などのより複雑なモデルの基盤構築があります。 結果を解釈する際は、相関関係は因果関係を意味しないことに注意してください。r が高いのは 2 つの変数が線形に連動することを示すだけで、一方が他方を引き起こすとは限りません。また、回帰直線は観測した x 値の範囲内での補間にのみ有効です。範囲を大きく超えた外挿では信頼できない予測になることがあります。最後に、影響の大きい少数の外れ値が回帰直線を大きく動かすことがあります。明らかな異常を見つけるため、統計値とあわせて散布図も必ず確認してください。 この計算機は、2 個以上の任意数の対応データ点を受け付けます。一方の欄に x 値、もう一方に対応する y 値をカンマ区切りで入力してください。出力には回帰方程式、傾き、y 切片、相関係数、R²、x と y の平均が含まれます。