Calculateur de loi lognormale

Une variable aléatoire positive suit une loi lognormale lorsque son logarithme naturel suit une loi normale. Si ln(X) est normal, de position mu et d'écart-type sigma, X suit une loi lognormale de ces paramètres. Cette loi n'est définie que pour les valeurs positives et présente généralement une asymétrie à droite : les observations se concentrent vers les petites valeurs, tandis qu'une longue queue supérieure permet des valeurs élevées occasionnelles. Les paramètres décrivent les logarithmes et non les mesures initiales. Mu est la moyenne de ln(X) : sa variation déplace donc la distribution de façon multiplicative sur l'échelle initiale. Sigma est l'écart-type de ln(X) et doit être positif. Plus sigma augmente, plus la dispersion relative, l'asymétrie à droite et le poids de la queue supérieure augmentent. Sigma est parfois appelé paramètre de forme ou d'échelle logarithmique ; ce n'est pas l'écart-type usuel de X. La densité de probabilité, ou PDF, donne la densité relative en une valeur x positive. Une densité ponctuelle n'est pas une probabilité : les probabilités correspondent à des aires sur des intervalles. La fonction de répartition, ou CDF, donne la probabilité que X soit inférieur ou égal au x saisi. On l'obtient en transformant ln(x) en score z normal, puis en évaluant la CDF de la loi normale centrée réduite. Sur l'échelle initiale, la médiane vaut exp(mu), car la moitié des logarithmes est inférieure à mu. Le mode vaut exp(mu moins sigma au carré) et se situe sous la médiane lorsque sigma est positif. La moyenne vaut exp(mu plus la moitié de sigma au carré) et dépasse la médiane, car les grandes valeurs de la queue supérieure tirent la moyenne arithmétique vers le haut. L'ordre mode inférieur à médiane inférieure à moyenne caractérise l'asymétrie à droite. La variance vaut exp(sigma au carré) moins un, multiplié par exp(2mu plus sigma au carré). Elle peut croître rapidement avec sigma. Cette sensibilité compte pour les données financières, environnementales, biologiques, de fiabilité ou de durée, où quelques grandes observations peuvent dominer les totaux. Précisez la définition des paramètres : certains logiciels utilisent une paramétrisation fondée sur la moyenne initiale ou un facteur d'échelle distinct. Un modèle lognormal est plausible pour des valeurs strictement positives issues d'effets multiplicatifs. Les revenus, tailles de particules, durées de réparation, concentrations biologiques et certains rapports de prix d'actifs en sont des exemples possibles. Il ne convient pas automatiquement à tout échantillon positif asymétrique. Examinez un histogramme, un graphique logarithmique et un graphique de probabilité normale des logarithmes. Les zéros et valeurs négatives exigent une transformation scientifiquement justifiée ou un autre modèle.