Calculateur du paradoxe de l'infini de Galilée

Le paradoxe de Galilée part de deux observations apparemment incompatibles. Les carrés parfaits ne sont qu'une partie des entiers strictement positifs : 1, 4, 9, 16, etc. La plupart des entiers naturels ne sont pas des carrés et, dans les échantillons finis, les carrés semblent de plus en plus rares. Pourtant, chaque entier naturel positif n s'associe à un unique carré n au carré, et chaque carré positif possède une unique racine carrée positive. Cette correspondance terme à terme suggère que l'ensemble des carrés et celui de tous les entiers naturels ont la même taille infinie. Le calculateur rend visible l'aspect fini. Parmi les entiers de 1 à une limite N, on compte floor(sqrt(N)) carrés parfaits. Jusqu'à 100, il y en a 10, soit 10% de l'échantillon. Jusqu'à 10,000, il y en a 100, soit seulement 1%. Lorsque N augmente, la proportion floor(sqrt(N))/N tend vers zéro. Dans le langage de la densité naturelle, les carrés parfaits ont une densité nulle parmi les entiers naturels. L'aspect infini repose sur l'appariement plutôt que sur la proportion. On associe 1 à 1, 2 à 4, 3 à 9 et, en général, n à n au carré. Aucun entier naturel de départ n'est oublié et aucun carré parfait d'arrivée n'est répété ni oublié. La théorie moderne des ensembles appelle cette règle une bijection. Deux ensembles ont le même cardinal s'il existe une bijection entre eux, même lorsque l'un est une partie propre de l'autre. Tous deux sont infinis dénombrables. Il n'y a plus de contradiction dès lors que proportion finie et cardinalité infinie sont reconnues comme des mesures différentes. La proportion décrit la fréquence d'une collection dans une autre à mesure que la limite augmente. La cardinalité demande si les éléments peuvent être associés un à un. Pour les ensembles finis, cela rejoint l'intuition : une partie propre contient toujours moins d'éléments. Les ensembles infinis se comportent autrement, car ils peuvent être entièrement mis en correspondance avec une partie propre d'eux-mêmes. Galilée a étudié cette énigme avant l'existence d'une théorie rigoureuse des cardinaux infinis. Plus tard, Georg Cantor a formalisé la correspondance terme à terme pour comparer les ensembles infinis. Ce paradoxe reste une bonne introduction à l'infini dénombrable, aux limites, à la densité et aux bijections. Augmentez progressivement la limite pour voir le pourcentage diminuer, tout en gardant à l'esprit que l'application de n à n au carré ne s'épuise d'aucun côté. L'outil ne calcule pas l'infini : il illustre comment une tendance finie et un appariement infini répondent à deux questions mathématiques distinctes.