Calculateur du paradoxe de l'hôtel de Hilbert

L'hôtel de Hilbert est une expérience de pensée introduite par le mathématicien David Hilbert pour illustrer le comportement inhabituel des ensembles infinis dénombrables. Imaginez un hôtel dont les chambres sont numérotées 1, 2, 3, et ainsi de suite sans fin. Toutes sont occupées : dans un hôtel fini, le gérant afficherait complet. Dans l'hôtel infini, il peut pourtant encore créer de la place en déplaçant les clients selon une règle qui associe chacun à une chambre distincte. Quand un nouveau client arrive, le client 1 passe à la chambre 2, le client 2 à la chambre 3 et, en général, le client n à la chambre n plus 1. Chaque client conserve une chambre et la chambre 1 se libère. Pour un groupe fini de k nouveaux clients, le client actuel n peut passer à la chambre n plus k, libérant les k premières chambres. Ce calculateur utilise le nombre saisi à la fois comme taille du groupe fini et comme numéro du client suivi : la destination affichée vaut donc le double de ce nombre. Le scénario du bus infini est encore plus étonnant. En déplaçant chaque client de la chambre n vers la chambre 2n, tous les clients actuels occupent les chambres paires. Les chambres impaires, en nombre infini, restent disponibles. Le passager n du bus peut alors prendre la chambre 2n moins 1. On obtient une attribution un à un pour chaque ancien client et chaque nouveau passager, même si les deux groupes sont infinis et si l'hôtel était déjà complet. Le paradoxe ne prétend pas qu'un hôtel réel puisse contenir une infinité de personnes. Il montre que la cardinalité infinie ne respecte pas toutes les intuitions issues du comptage fini. Les entiers naturels peuvent être mis en correspondance un à un avec une partie stricte, comme les nombres pairs : les deux ensembles ont donc la même taille infinie dénombrable. Aucun dernier client ni plus grand numéro de chambre n'est nécessaire, car la réattribution est une application mathématique, pas une suite de déménagements à terminer un par un. Utilisez le simulateur pour examiner des attributions précises plutôt que tenter de lister tout le processus infini. Tout indice entier strictement positif suit la même règle. Les exemples relient les formules à des clients concrets, et les explications montrent pourquoi deux personnes ne reçoivent jamais la même chambre et pourquoi chaque chambre désignée possède exactement un occupant.