Calculadora de polinomio característico

El polinomio característico reúne información esencial de una matriz cuadrada en un solo polinomio. Sus raíces son los valores propios de la matriz, que describen direcciones o estados que se escalan sin salir de su dirección lineal bajo la transformación asociada. Esta calculadora evalúa el polinomio de una matriz real de 2 por 2 e indica su traza y determinante. Para una matriz con a y b en la primera fila y c y d en la segunda, el polinomio característico mónico es p(λ) = det(λI - A). Al desarrollar el determinante se obtiene λ al cuadrado menos (a + d) por λ más (ad - bc). La cantidad a + d es la traza, mientras que ad - bc es el determinante. En una matriz de 2 por 2, ambos valores determinan por completo el polinomio característico. Algunos libros lo definen como det(A - λI). En matrices de orden par, como las de 2 por 2, esto produce el mismo polinomio, de modo que aquí no hay ambigüedad de signo. En dimensiones impares, las convenciones difieren en un signo negativo global, pero sus raíces son idénticas. La convención mónica utilizada aquí mantiene el coeficiente principal igual a uno y es habitual en álgebra lineal. Los polinomios característicos se usan en cálculos de valores propios, análisis de estabilidad, ecuaciones diferenciales, relaciones de recurrencia, mecánica cuántica, sistemas de control y ciencia de datos. Una matriz diagonal ofrece el ejemplo más sencillo: sus valores propios son los elementos de la diagonal y su polinomio es el producto de λ menos cada uno de ellos. Una raíz múltiple indica un valor propio repetido, aunque hace falta un análisis adicional para determinar si existen suficientes vectores propios independientes. Introduce enteros o decimales habituales por filas, de izquierda a derecha. La calculadora obtiene primero la traza y el determinante y los coloca en la forma cuadrática general. Los resultados decimales pueden redondearse al mostrarse, por lo que las fracciones exactas pueden ser preferibles en demostraciones simbólicas. Para obtener después los valores propios numéricos, resuelve la ecuación cuadrática mostrada mediante factorización o con la fórmula general.