Rechner für gravitative Zeitdilatation

Gravitative Zeitdilatation bezeichnet den Unterschied der verstrichenen Zeit, den Uhren bei unterschiedlichen Gravitationspotenzialen messen. In der allgemeinen Relativitätstheorie krümmt Masse die Raumzeit. Eine tiefer im Gravitationsfeld liegende Uhr geht langsamer als eine sehr weit von der Masse entfernte Uhr. Dieser Rechner nutzt die Schwarzschild-Lösung für die Raumzeit außerhalb eines kugelförmigen, nicht rotierenden, ungeladenen Körpers. Sie ist eine nützliche Näherung für Planeten, gewöhnliche Sterne und idealisierte kompakte Objekte, wenn Rotation vernachlässigt werden kann. Zunächst wird der Schwarzschildradius berechnet: das Zweifache aus Gravitationskonstante mal Masse, geteilt durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Der lokale Zeitgangfaktor ist die Quadratwurzel aus eins minus Schwarzschildradius geteilt durch radialen Abstand. Multipliziert man die Koordinatenzeit eines fernen Beobachters mit diesem Faktor, erhält man die Eigenzeit einer stationären lokalen Uhr. Ein Faktor nahe eins bedeutet einen winzigen Unterschied; ein kleinerer Faktor steht für stärkere gravitative Verlangsamung. Bei der Erde beträgt der Schwarzschildradius nur etwa neun Millimeter, während die Oberfläche mehr als sechs Millionen Meter vom Zentrum entfernt ist. Der Faktor liegt daher extrem nahe bei eins, dennoch können Präzisionsuhren die aufgelaufene Differenz messen. Satellitennavigationssysteme müssen sowohl gravitative als auch geschwindigkeitsbedingte relativistische Effekte berücksichtigen. Nahe einem Neutronenstern oder idealisierten schwarzen Loch ist das Verhältnis von Schwarzschildradius zu Abstand deutlich größer und der Unterschied entsprechend ausgeprägt. Der radiale Abstand muss vom Massenschwerpunkt und nicht von der Oberfläche aus gemessen werden. Außerdem muss die Uhr außerhalb des Schwarzschildradius bleiben. An diesem Radius wird der Faktor in statischen Koordinaten null; darunter kann in diesem Modell kein stationärer Beobachter existieren. Reale astronomische Körper können rotieren, von der Kugelsymmetrie abweichen oder von Materie umgeben sein. Weiterführende Berechnungen können deshalb eine andere Raumzeitmetrik erfordern. Verwenden Sie Kilogramm, Meter und Sekunden zusammen, um direkt SI-Ergebnisse zu erhalten. Für astronomische Massen ist wissenschaftliche Schreibweise praktisch, etwa 5.972e24 Kilogramm für die Erde. Der angezeigte Schwarzschildradius hilft bei der Größenordnungskontrolle, während der dimensionslose Zeitgangfaktor Vergleiche erleichtert. Das Werkzeug dient Lehre und Abschätzung. Es modelliert weder Beschleunigung, Orbitalbewegung, speziell-relativistische Geschwindigkeitseffekte, Mitführung von Bezugssystemen noch das innere Gravitationsfeld eines ausgedehnten Körpers.