Rechner für trigonometrische Identitäten

Trigonometrische Identitäten verknüpfen die sechs Funktionen, die einen Winkel am Einheitskreis beschreiben. Ein Punkt auf diesem Kreis hat die Koordinaten (cos θ, sin θ). Der Kosinus ist somit die waagerechte und der Sinus die senkrechte Koordinate. Der Tangens ist ihr Quotient sin θ / cos θ. Die drei Kehrwertfunktionen folgen direkt: Kosekans ist 1 / sin θ, Sekans ist 1 / cos θ und Kotangens ist cos θ / sin θ. Ein gültiger Funktionswert und der Quadrant genügen, um alle übrigen Werte zu bestimmen. Die zentrale Beziehung ist die pythagoreische Identität sin² θ + cos² θ = 1. Ist der Sinus bekannt, ergibt sich der Betrag des Kosinus als Quadratwurzel aus 1 - sin² θ. Bei bekanntem Kosinus wird der Sinus entsprechend ermittelt. Ein bekannter Tangens bestimmt einen proportionalen Punkt, der durch Normierung auf den Einheitskreis gebracht wird. Eingaben von Kehrwertfunktionen werden zunächst invertiert; danach gelten dieselben Regeln. So bleiben die mathematischen Beziehungen erhalten, statt erst einen Winkel zu schätzen und zurückzurechnen. Die Quadranten bestimmen die Vorzeichen. Im Quadranten I sind Sinus und Kosinus positiv. Im Quadranten II ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ. Im Quadranten III sind beide negativ, im Quadranten IV ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv. Tangens und Kotangens sind positiv, wenn Sinus und Kosinus dasselbe Vorzeichen haben. Der Rechner gleicht das eingegebene Vorzeichen mit dem gewählten Quadranten ab, damit eine unmögliche Kombination nicht als gültige Antwort erscheint. Bei Winkeln auf den Koordinatenachsen sind manche Funktionen nicht definiert. Ist der Kosinus null, sind beispielsweise Tangens und Sekans nicht definiert. Ist der Sinus null, gilt dies für Kotangens und Kosekans. Sehr große Kehrwertergebnisse werden ebenfalls als nicht definiert angezeigt, da Gleitkommanäherungen nahe null nicht mit sinnvollen endlichen Werten verwechselt werden sollten. Der Rechner eignet sich für vorbereitende Analysisübungen, den Einheitskreis, physikalische Komponenten, technische Formeln und die Kontrolle von Handrechnungen. Er zeigt Dezimalwerte mit sechs Nachkommastellen an, was für praktische Anwendungen nützlich ist. Bei symbolischen Beweisen solltest du möglichst exakte Wurzeln und Brüche beibehalten und das numerische Ergebnis zur Kontrolle statt als Ersatz für algebraische Überlegungen nutzen.