Teilerfremdheitsrechner

Prüfen Sie, ob zwei ganze Zahlen teilerfremd sind, indem Sie ihren größten gemeinsamen Teiler mit dem euklidischen Algorithmus berechnen.

Teilerfremdheit prüfen

Geben Sie zwei ganze Zahlen ein, um ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen.

Erste ganze Zahl

Zweite ganze Zahl

Über teilerfremde Zahlen

Zwei ganze Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler genau eins ist. Die Zahlen müssen nicht selbst Primzahlen sein. Beispielsweise sind 14 und 25 zusammengesetzt: 14 hat die Faktoren 2 und 7, während 25 den Faktor 5 hat. Dennoch teilen sie keinen positiven Faktor außer 1. Dagegen haben 18 und 24 die gemeinsamen Faktoren 2, 3 und 6. Ihr größter gemeinsamer Teiler ist 6, also sind sie nicht teilerfremd. Dieser Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler mit dem euklidischen Algorithmus. Er beginnt mit den Beträgen beider Zahlen und ersetzt das aktuelle Zahlenpaar wiederholt durch Divisor und Rest. Bei 18 und 24 führen die Divisionen schließlich zu den Resten 6 und danach 0. Der letzte Rest ungleich null ist der größte gemeinsame Teiler. Das Verfahren ist auch für große ganze Zahlen effizient, weil jeder Rest die nächste Berechnung rasch verkleinert. Teilerfremdheit ist eine Beziehung zwischen Zahlen, keine Eigenschaft einer einzelnen Zahl. Die Zahl 8 ist zu 15 teilerfremd, weil ihr ggT 1 ist, nicht aber zu 12, da beide den Faktor 4 haben. Aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind immer teilerfremd: Jeder gemeinsame Teiler von n und n plus 1 müsste auch ihre Differenz 1 teilen. Ebenso ist jede ganze Zahl zu 1 teilerfremd. Teilerfremde Zahlen sind grundlegend beim Kürzen von Brüchen. Ein Bruch ist genau dann vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Sie treten auch in modularer Arithmetik, der eulerschen Phi-Funktion, zyklischen Mustern, Zahnradübersetzungen und der Public-Key-Kryptografie auf. In der RSA-Mathematik stellt die Wahl von Werten mit ggT eins sicher, dass ein modulares Inverses existiert. Negative Eingaben sind erlaubt, da Vorzeichen die gemeinsamen positiven Faktoren nicht verändern; der Rechner verwendet die Beträge. Bei null ist Vorsicht nötig. Der ggT von null und einer von null verschiedenen ganzen Zahl ist deren Betrag. Daher ist null nur zu 1 oder minus 1 teilerfremd. Das Paar null und null wird abgelehnt, da sein ggT nach der hier verwendeten Konvention nicht definiert ist. Verwenden Sie ganze Zahlen, denn Teilerfremdheit und Teilbarkeit sind diskrete Begriffe der Zahlentheorie.

Beispiele für Teilerfremdheit

Der größte gemeinsame Teiler bestimmt jedes Ergebnis.

Zahlenpaar	Ergebnis	Begründung
14 und 25	Teilerfremd	Ihr größter gemeinsamer Teiler ist 1.
18 und 24	Nicht teilerfremd	Beide Zahlen sind durch 6 teilbar.
35 und 64	Teilerfremd	Sie haben keinen gemeinsamen Primfaktor.
0 und 1	Teilerfremd	Der größte gemeinsame Teiler von 0 und 1 ist 1.

So prüfen Sie Zahlen auf Teilerfremdheit

Geben Sie die erste ganze Zahl gegebenenfalls mit Minuszeichen ein.
Geben Sie die zweite ganze Zahl ein.
Wählen Sie Teilerfremdheit prüfen.
Prüfen Sie, ob der angezeigte größte gemeinsame Teiler eins ist.

Häufige Fragen zum Teilerfremdheitsrechner

Müssen beide Zahlen Primzahlen sein?

Nein. Teilerfremdheit bedeutet nur, dass die Zahlen keinen gemeinsamen Faktor größer als eins haben. Auch zwei zusammengesetzte Zahlen wie 8 und 15 können teilerfremd sein.

Sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen immer teilerfremd?

Ja. Jeder gemeinsame Teiler müsste ihre Differenz eins teilen. Deshalb hat jedes Paar aufeinanderfolgender ganzer Zahlen den ggT eins.

Ist 1 zu jeder ganzen Zahl teilerfremd?

Ja. Der einzige positive Faktor von 1 ist 1 selbst. Deshalb ist ihr ggT mit jeder ganzen Zahl 1.

Kann null zu einer anderen Zahl teilerfremd sein?

Null ist zu 1 und minus 1 teilerfremd, da diese Paare den ggT 1 haben. Bei jeder anderen von null verschiedenen ganzen Zahl ist der ggT größer als eins; zwei Nullen werden abgelehnt.

Wozu sind teilerfremde Zahlen nützlich?

Sie kennzeichnen vollständig gekürzte Brüche und garantieren in vielen Fällen modulare Inverse. Die Beziehung ist außerdem grundlegend für Zahlentheorie und kryptografische Algorithmen.