調和級數計算機

調和級數由正整數的倒數依序相加而成：一、二分之一、三分之一、四分之一，依此類推。加到第 n 個倒數的有限和，稱為第 n 個調和數，通常記為 H，下標為 n。本計算機直接求出此有限和，保留指定上限內每一項的貢獻。 計算調和數時，從零開始，依序加上從一到 n 每個整數的倒數。五項的計算為 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5，約等於 2.2833333333。十項的結果約為 2.9289682540。每個新項都比前一項小，因此部分和持續增加，但增加速度越來越慢。 雖然每個新增分數都趨近於零，無窮調和級數仍然發散。它的部分和沒有有限上限。這個著名結果說明，各項趨近零是無窮級數收斂的必要條件，卻不是充分條件。其成長呈對數形式：若要讓總和明顯增加，需要大幅增加項數。調和數接近 n 的自然對數加上歐拉–馬歇羅尼常數，此常數約為 0.57721。 簡單的積分比較可協助檢查精確有限和。n 加一的自然對數小於第 n 個調和數，而調和數小於一加 n 的自然對數。計算機會顯示這兩個上下界。隨著 n 增大，它們相對上越來越緊，有助於理解對數成長模式，但不會取代直接求和。 調和數廣泛出現在數學與電腦科學中，包括隨機演算法的預期成本、某些資料結構的平均比較次數、集券問題、因數求和及機率模型。在物理與工程領域，相關的倒數和也出現在共振和訊號分析中。音樂中的泛音使用相近的英文名稱，但本計算機處理的是數學倒數級數，而非聲學諧波頻率。 請輸入不超過一百萬的正整數。顯示的和保留十位小數，內部使用 JavaScript 雙精度運算。對極大的索引值，專用近似法可能更快，也能更仔細控制浮點誤差。在本計算機規定範圍內，直接求和可提供透明且可靠的教學結果。