Калькулятор разложения трёхчленов

Разложите квадратный трёхчлен ax² + bx + c в произведение двучленов с целыми коэффициентами.

Разложение квадратного трёхчлена

Введите целые коэффициенты ax² + bx + c. Старший коэффициент не может быть нулевым.

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

О разложении трёхчленов

Разложение квадратного трёхчлена — операция, обратная умножению многочленов. Выражение ax² + bx + c записывают как произведение двух линейных двучленов, если существуют целочисленные множители. Например, x² + 5x + 6 превращается в (x + 2)(x + 3). Раскрытие скобок даёт x² + 3x + 2x + 6, что после приведения подобных возвращает исходное выражение. Для приведённого трёхчлена, где a равен 1, найдите два целых числа с произведением c и суммой b. Они станут постоянными членами множителей. Знаки важны: x² - 5x + 6 требует двух отрицательных чисел и даёт (x - 2)(x - 3), поскольку их произведение — положительное 6, а сумма — отрицательное 5. Если старший коэффициент не равен 1, используйте метод AC. Умножьте a на c, найдите два целых числа с произведением ac и суммой b, разделите средний член с их помощью и выполните группировку. Для 2x² + 7x + 3 произведение ac равно 6, нужная пара — 6 и 1. Группировка 2x² + 6x + x + 3 даёт (x + 3)(2x + 1). Дискриминант b² - 4ac быстро показывает, возможны ли рациональные линейные множители. Если он отрицателен, действительных корней нет и разложение на действительные линейные множители невозможно. Если при целых коэффициентах он неотрицателен, но не является полным квадратом, корни иррациональны и разложения на целочисленные двучлены нет. Калькулятор сообщает об отсутствии разложения над целыми числами, а не подбирает неверное произведение. Особые формы ускоряют разложение. Разность квадратов x² - 9 даёт (x - 3)(x + 3). Полный квадрат x² + 6x + 9 даёт (x + 3)(x + 3). Если у всех коэффициентов есть наибольший общий делитель, сначала вынесите его перед произведением двучленов. Разложенная форма показывает нули квадратного уравнения. Если произведение двух множителей равно нулю, можно приравнять каждый множитель к нулю и найти корни. Это полезно для пересечений графика с горизонтальной осью, уравнений времени движения снаряда, моделей площади и упрощения выражений. Всегда проверяйте разложение умножением двучленов: коэффициенты при x², x и свободный член должны точно совпасть с исходным трёхчленом.

Примеры разложения трёхчленов

Примеры охватывают приведённые, неприведённые, особые и неразложимые случаи.

Трёхчлен	Разложение	Метод
x² + 5x + 6	(x + 2)(x + 3)	Два числа с произведением 6 и суммой 5.
2x² + 7x + 3	(x + 3)(2x + 1)	Используйте метод AC и группировку.
x² - 9	(x - 3)(x + 3)	Разность квадратов.
x² + x + 1	Не разлагается над целыми числами	Дискриминант отрицателен.

Как разложить трёхчлен

Введите целый коэффициент при x² в поле a; если он не написан, используйте 1.
Введите коэффициент при x со знаком в поле b; если члена нет, используйте 0.
Введите свободный член со знаком в поле c.
Нажмите «Разложить трёхчлен», чтобы найти целочисленные двучлены-множители.
Раскройте полученное произведение в уме или на бумаге для проверки.

Вопросы о разложении трёхчленов

Что значит разложение над целыми числами?

Многочлен можно записать как произведение множителей с целыми коэффициентами. Некоторые квадратные трёхчлены имеют иррациональные или невещественные комплексные корни и потому не имеют целочисленных двучленов-множителей.

Как дискриминант помогает при разложении?

Для целых коэффициентов неотрицательный дискриминант, являющийся полным квадратом, указывает на рациональные корни и целочисленное разложение после вынесения общего множителя. Отрицательный или неполный квадрат исключает такую форму.

Что если коэффициент a равен нулю?

Тогда выражение становится линейным, а не квадратным, и не соответствует нужной форме. Калькулятор требует ненулевой старший коэффициент.

Можно ли разложить разность квадратов?

Да, введите ноль для среднего коэффициента. Например, коэффициенты 1, 0 и -9 дают (x - 3)(x + 3).

Как проверить ответ?

Умножьте двучлены по распределительному закону или методу FOIL и приведите подобные члены. Три полученных коэффициента должны точно совпасть с a, b и c.