Калькулятор гармонического ряда

Гармонический ряд образуется сложением величин, обратных положительным целым числам: единица, одна вторая, одна третья, одна четвёртая и так далее. Конечная сумма до n-го обратного члена называется n-м гармоническим числом и обычно обозначается H с индексом n. Калькулятор находит эту сумму напрямую, учитывая вклад каждого члена до заданного предела. Чтобы вычислить гармоническое число, начните с нуля и прибавляйте единицу, делённую на каждое целое число от одного до n. Для пяти членов расчёт имеет вид 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 и даёт примерно 2.2833333333. Для десяти членов результат равен примерно 2.9289682540. Каждый новый член меньше предыдущего, поэтому частичные суммы постоянно растут, но всё медленнее. Хотя добавляемые дроби стремятся к нулю, бесконечный гармонический ряд расходится. У его частичных сумм нет конечной верхней границы. Этот известный результат показывает: стремление членов к нулю необходимо, но недостаточно для сходимости бесконечного ряда. Рост логарифмический: чтобы заметно увеличить сумму, нужно многократно увеличить число членов. Гармоническое число близко к натуральному логарифму n плюс постоянная Эйлера–Маскерони, примерно 0.57721. Простое сравнение с интегралами позволяет проверить точную конечную сумму. Натуральный логарифм числа n плюс один меньше n-го гармонического числа, а само число меньше единицы плюс натуральный логарифм n. Калькулятор показывает эти нижнюю и верхнюю границы. С ростом n они становятся относительно теснее и помогают понять логарифмический характер роста, не заменяя прямое суммирование. Гармонические числа встречаются во многих разделах математики и информатики. Они описывают ожидаемые затраты рандомизированных алгоритмов, среднее число сравнений в некоторых структурах данных, задачу коллекционера купонов, суммы делителей и вероятностные модели. В физике и технике связанные суммы обратных величин возникают при изучении резонанса и анализе сигналов. Музыкантам слово «гармоника» знакомо в другом смысле, но этот калькулятор рассматривает математический ряд обратных величин, а не частоты акустических гармоник. Введите положительное целое число не больше миллиона. Сумма отображается с десятью знаками после запятой, а вычисления используют двойную точность JavaScript. При чрезвычайно больших индексах специальные приближения могут быть быстрее и лучше контролировать ошибки плавающей точки. В заявленном диапазоне прямое суммирование даёт прозрачный и надёжный учебный результат.