Calculadora do pequeno teorema de Fermat

O pequeno teorema de Fermat conecta números primos, potências e aritmética modular. Sua forma padrão afirma que, se p é primo e a não é divisível por p, então a^(p - 1) deixa resto 1 ao ser dividido por p. Na notação de congruência, a^(p - 1) é congruente a 1 módulo p. Para a = 2 e p = 7, o cálculo é 2^6 = 64, e 64 deixa resto 1 na divisão por 7. Uma forma equivalente afirma que a^p é congruente a a módulo p para todo inteiro a quando p é primo. Essa versão também cobre o caso em que p divide a, pois os dois lados têm resto zero. A forma padrão exige que o máximo divisor comum de a e p seja 1. A calculadora verifica a primalidade e essa condição de coprimalidade antes de avaliar a congruência escolhida. Calcular uma potência grande diretamente pode produzir um número intermediário enorme. Em vez disso, a ferramenta usa exponenciação modular binária, também chamada de quadrados sucessivos. Ela eleva a base atual ao quadrado repetidamente e reduz módulo p após cada multiplicação. Isso preserva o resto exato, evita potências completas difíceis de manipular e exige apenas uma quantidade logarítmica de etapas em relação ao expoente. O método é fundamental em softwares criptográficos práticos. O teorema pode provar que um número é composto: se uma base coprima falha na congruência, o módulo proposto não pode ser primo. Porém, passar em um teste de Fermat não prova primalidade. Alguns compostos passam para bases específicas, e números de Carmichael passam no teste padrão para toda base coprima com eles. Por isso, testes confiáveis usam verificações determinísticas mais fortes ou testes como Miller-Rabin com bases cuidadosamente escolhidas. O resultado de Fermat apoia várias áreas da teoria dos números e da computação. Ajuda a reduzir expoentes em cálculos modulares, motiva testes de primalidade e contribui para os fundamentos matemáticos da criptografia de chave pública. O RSA depende mais diretamente do teorema relacionado de Euler, mas o de Fermat explica o comportamento de módulos primos em seu núcleo. Inversos modulares também podem ser encontrados com a^(p - 2) módulo p quando p é primo e a não é zero módulo p. Use esta calculadora para verificar exemplos de aula e explorar padrões modulares, não para certificar grandes primos criptográficos. As entradas são limitadas a inteiros seguros do JavaScript para uma verificação confiável de primalidade, enquanto a exponenciação usa aritmética inteira exata. Um resultado bem-sucedido confirma que o primo e a base escolhidos satisfazem a forma selecionada; por si só, não estabelece que um candidato composto ainda não verificado seja primo.