Calculadora de fatoração de trinômios

Fatore trinômios quadráticos ax² + bx + c em produtos de binômios com coeficientes inteiros.

Fatorar um trinômio quadrático

Informe coeficientes inteiros para ax² + bx + c. O coeficiente principal não pode ser zero.

Coeficiente a

Coeficiente b

Coeficiente c

Sobre a fatoração de trinômios

Fatorar um trinômio quadrático inverte a multiplicação de polinômios. Uma expressão ax² + bx + c é reescrita como produto de dois binômios lineares quando existem fatores inteiros. Por exemplo, x² + 5x + 6 vira (x + 2)(x + 3). Expandir o resultado gera x² + 3x + 2x + 6, que se reduz à expressão original. Em um trinômio mônico, no qual a é 1, procure dois inteiros cujo produto seja c e cuja soma seja b. Esses inteiros se tornam as constantes dos fatores. Os sinais importam: x² - 5x + 6 exige duas constantes negativas e resulta em (x - 2)(x - 3), pois o produto é positivo 6 e a soma é negativo 5. Quando o coeficiente principal não é 1, o método AC oferece um caminho sistemático. Multiplique a por c, encontre dois inteiros com produto ac e soma b, divida o termo central com esses valores e fatore por agrupamento. Para 2x² + 7x + 3, ac é 6 e o par útil é 6 e 1. Agrupar 2x² + 6x + x + 3 produz (x + 3)(2x + 1). O discriminante b² - 4ac indica rapidamente se fatores lineares racionais são possíveis. Se for negativo, a expressão não tem raízes reais e não pode ser fatorada em termos lineares reais. Se for não negativo, mas não um quadrado perfeito para coeficientes inteiros, as raízes são irracionais e não existe fatoração em binômios inteiros. A calculadora informa que essas expressões não são fatoráveis sobre os inteiros, em vez de forçar um produto incorreto. Padrões especiais agilizam a fatoração. Uma diferença de quadrados como x² - 9 vira (x - 3)(x + 3). Um trinômio quadrado perfeito como x² + 6x + 9 vira (x + 3)(x + 3). Se todos os coeficientes compartilham um máximo divisor comum, coloque-o em evidência primeiro, antes do produto dos binômios. A forma fatorada revela os zeros de uma equação quadrática. Se o produto de dois fatores é zero, cada fator pode ser igualado a zero para encontrar as raízes. Isso ajuda em interceptos no eixo horizontal, equações de tempo de projéteis, modelos de área e simplificação algébrica. Sempre confira multiplicando os binômios e verificando se os coeficientes de x², x e o termo constante coincidem exatamente com o trinômio original.

Exemplos de fatoração de trinômios

Os exemplos incluem casos mônicos, não mônicos, padrões especiais e não fatoráveis.

Trinômio	Forma fatorada	Método
x² + 5x + 6	(x + 2)(x + 3)	Dois números com produto 6 e soma 5.
2x² + 7x + 3	(x + 3)(2x + 1)	Use o método AC e o agrupamento.
x² - 9	(x - 3)(x + 3)	Diferença de quadrados.
x² + x + 1	Não fatorável sobre os inteiros	O discriminante é negativo.

Como fatorar um trinômio

Informe o coeficiente inteiro de x² em a; use 1 quando ele não estiver escrito.
Informe o coeficiente de x com sinal em b; use 0 quando o termo estiver ausente.
Informe a constante com sinal em c.
Selecione Fatorar trinômio para buscar fatores binomiais inteiros.
Expanda o produto exibido mentalmente ou no papel para conferir o resultado.

Perguntas sobre fatoração de trinômios

O que significa fatorável sobre os inteiros?

Significa que o polinômio pode ser escrito como produto de fatores com coeficientes inteiros. Algumas expressões quadráticas têm raízes irracionais ou complexas não reais e, por isso, não têm fatores binomiais inteiros.

Como o discriminante ajuda na fatoração?

Com coeficientes inteiros, um discriminante não negativo que seja quadrado perfeito indica raízes racionais e fatoração inteira após extrair o fator comum. Um discriminante negativo ou não quadrado descarta essa forma.

E se o coeficiente a for zero?

A expressão passa a ser linear, não quadrática, e deixa de ter a forma exigida. Esta calculadora requer coeficiente principal diferente de zero.

A calculadora fatora diferença de quadrados?

Sim, informe zero no coeficiente central. Por exemplo, os coeficientes 1, 0 e -9 produzem (x - 3)(x + 3).

Como posso conferir a resposta?

Multiplique os binômios pela distributiva ou pelo método FOIL e reúna termos semelhantes. Os três coeficientes obtidos devem coincidir exatamente com a, b e c.