Calculadora SVD

Decomponha uma matriz dois por dois em U, valores singulares e V transposta com resultados numéricos determinísticos.

Decomposição em valores singulares

Insira exatamente duas linhas, separando os valores por vírgulas e as linhas por ponto e vírgula.

Matriz de entrada

Use vírgulas entre os valores e ponto e vírgula entre as duas linhas.

Sobre a decomposição em valores singulares

A decomposição em valores singulares, geralmente abreviada como SVD, fatora uma matriz real em três matrizes com estruturas específicas. A equação convencional estabelece que a matriz original é igual a U multiplicada por Sigma e por V transposta. U e V são matrizes ortogonais, portanto suas colunas formam direções unitárias perpendiculares. Sigma é diagonal e contém valores singulares não negativos em ordem decrescente. Esta calculadora realiza essa decomposição para qualquer matriz real dois por dois. O cálculo começa com a matriz simétrica formada pela multiplicação da transposta da entrada pela própria entrada. Seus autovalores são sempre não negativos, exceto por pequenos efeitos de ponto flutuante. Suas raízes quadradas são os valores singulares, e os autovetores normalizados formam as colunas de V. Multiplicar a matriz original por cada vetor singular direito e dividir pelo respectivo valor singular não nulo produz a coluna correspondente de U. Quando um valor singular é zero, a calculadora completa uma base ortonormal de forma determinística para manter a validade dos fatores exibidos. Os valores singulares descrevem o quanto uma matriz estica o espaço em direções específicas. Um primeiro valor grande e um segundo muito menor indicam que a maior parte da transformação se concentra em uma direção. Um segundo valor nulo significa que a matriz tem posto um ou zero e reduz o plano a uma reta ou ponto. A razão entre o maior valor singular e o menor não nulo está relacionada ao condicionamento numérico, embora esta página exiba a decomposição, e não um número de condição. A SVD é usada em ajuste por mínimos quadrados, pseudoinversas, redução de dimensionalidade, compressão de imagens, sistemas de recomendação, processamento de sinais e filtragem de ruído. Ao contrário da decomposição em autovalores, ela existe para toda matriz real e não se restringe a entradas simétricas ou quadradas. Esta calculadora de Fase 1 limita deliberadamente a entrada a matrizes dois por dois para oferecer uma implementação compacta, transparente, sem dependências e com formatação previsível. As ideias subjacentes, porém, se estendem diretamente a matrizes retangulares de qualquer tamanho. Os resultados são arredondados para seis casas decimais e os zeros desnecessários são removidos. Os fatores ortogonais não são matematicamente únicos: os sinais de colunas correspondentes de U e V podem ser invertidos simultaneamente sem alterar o produto, e valores singulares repetidos permitem rotações adicionais dentro de um subespaço. Por isso, outro pacote SVD confiável pode exibir sinais ou vetores de base diferentes e ainda reconstruir exatamente a mesma entrada. Esta calculadora escolhe uma orientação consistente, mantendo estáveis os resultados de entradas repetidas e exemplos de referência.

Exemplos de SVD

Matriz de entrada	Valores singulares	Observação
3,0;0,2	3, 2	Uma matriz diagonal positiva já está alinhada às suas direções singulares.
4,0;0,1	4, 1	A matriz estica o primeiro eixo quatro vezes e mantém o segundo inalterado.
1,0;0,0	1, 0	Um valor singular nulo identifica uma matriz de posto um.
0,2;2,0	2, 2	Valores singulares iguais indicam o mesmo alongamento em duas direções perpendiculares.

Como usar a calculadora SVD

Digite a primeira linha como dois números separados por vírgula.
Adicione um ponto e vírgula e digite a segunda linha, também separada por vírgula.
Selecione Calcular SVD.
Confira os valores singulares e as matrizes U, Sigma e V transposta.

Perguntas frequentes sobre a calculadora SVD

O que os valores singulares representam?

Eles medem o alongamento em direções perpendiculares específicas. Valores maiores representam uma mudança de escala mais intensa, enquanto um valor nulo indica uma dimensão colapsada.

Por que U e V são ortogonais?

Suas colunas são vetores unitários mutuamente perpendiculares. A ortogonalidade preserva comprimentos e ângulos, então esses fatores representam rotações ou reflexões, não uma mudança adicional de escala.

Duas respostas SVD diferentes podem estar corretas?

Sim. Os sinais de vetores singulares correspondentes podem ser invertidos juntos sem alterar a matriz reconstruída. Valores singulares repetidos também permitem diferentes bases ortonormais válidas.

Esta calculadora aceita matrizes retangulares?

Não. Esta implementação de Fase 1 aceita apenas matrizes reais arbitrárias dois por dois. Matrizes maiores e retangulares exigem uma rotina de decomposição numérica mais abrangente.

O que significa um valor singular nulo?

Significa que a matriz perde pelo menos uma direção independente e é singular. Em uma matriz dois por dois, um valor positivo e outro nulo indicam posto um.