수심 계산기

수심은 삼각형의 세 높이를 포함하는 직선의 공통 교점입니다. 여기서 높이는 한 꼭짓점을 지나고 대변을 포함하는 직선에 수직인 직선을 뜻합니다. 세 높이를 모두 그리면 구조를 쉽게 알아볼 수 있지만 계산에는 두 개면 충분합니다. 서로 다른 두 높이가 만나면 세 번째도 같은 점을 지납니다. 이 공점 성질은 유클리드 기하학의 기본 정리입니다. 수심의 위치는 삼각형의 각에 따라 달라집니다. 예각삼각형에서는 세 높이가 내부에서 만납니다. 직각삼각형에서는 직각을 이루는 두 변이 이미 서로 수직인 높이이므로 직각인 꼭짓점이 수심입니다. 둔각삼각형에서는 적어도 두 대변을 연장해야 하므로 높이가 삼각형 밖에서 만납니다. 따라서 외부 좌표도 올바른 답이며 계산 실패를 의미하지 않습니다. 좌표기하에서는 수직 조건을 내적으로 표현합니다. 꼭짓점 A에서 미지의 점 H로 가는 직선이 높이라면 벡터 H 빼기 A는 변 BC와 수직이어야 하므로 내적이 영입니다. 두 번째 식은 벡터 H 빼기 B가 변 AC와 수직이라는 조건입니다. 두 내적을 전개하면 H의 x좌표와 y좌표에 대한 이원 일차 연립방정식이 됩니다. 계산기는 이 식을 직접 풀어 수직선에서 별도 처리가 필요한 기울기 공식을 피합니다. 입력한 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형을 정의할 수 없습니다. 이때 두 높이 방정식은 유일한 교점을 갖지 못하며, 대수적으로는 행렬식이 영이 됩니다. 계산기는 이를 감지해 일직선상에 있지 않은 꼭짓점을 요청합니다. 중복된 점도 같은 기하학적 이유로 허용하지 않습니다. 소수와 음수 좌표를 지원하므로 모든 사분면에서 사용할 수 있고 변이 좌표축과 평행할 필요도 없습니다. 수심은 대표적인 삼각형의 네 중심 중 하나입니다. 무게중심은 중선의 교점, 내심은 각의 이등분선의 교점, 외심은 변의 수직이등분선의 교점입니다. 일반적인 삼각형에서는 서로 다른 점입니다. 무게중심, 외심, 수심은 오일러 직선 위에 놓이고 위치 사이에는 간단한 비례 관계가 있습니다. 정삼각형에서는 대칭성 때문에 네 중심이 모두 일치합니다. 이 계산기는 해석기하, 작도 확인, 삼각형 중심 연습 문제와 컴퓨터 그래픽에 유용합니다. 각 x좌표가 올바른 y좌표와 짝을 이루도록 순서쌍을 신중히 입력하세요. 결과는 읽기 쉽게 반올림하여 표시하지만 방정식은 JavaScript의 전체 부동소수점 정밀도로 계산합니다. 어느 한 높이의 내적 방정식에 결과를 대입하면 직접 검산할 수 있습니다.