共役複素数計算機

共役複素数は、実部をそのままにして虚部の符号を変えた数です。z = a + bi なら、その共役は a - bi です。たとえば 3 + 4i の共役は 3 - 4i、-2 - 2i の共役は -2 + 2i です。これは実軸に関する鏡映で、原点からの距離を保ちながら角度の符号を反転させます。 複素数にその共役を掛けると虚部が消えるため、共役は便利です。積 (a + bi)(a - bi) は a² + b² となり、非負の実数になります。この恒等式は複素数の除法に使われます。分子と分母に分母の共役を掛けると、分母を実数にできます。また、絶対値の二乗が a² + b² であることから、絶対値にも直接つながります。 複素数 z の絶対値は、複素平面上の原点から点 (a, b) までのユークリッド距離です。三平方の定理により、a² + b² の平方根で求められます。共役な二つの複素数の絶対値は常に同じです。この計算機は安定した計算のために hypot 関数を使い、結果が整数でない場合は丸めた小数を表示します。 偏角は、実軸の正の方向から複素数へ向かう有向角です。通常の逆正接だけではすべての象限を区別できないため、計算機は atan2(b, a) を使います。これにより、負の π から正の π ラジアンの範囲の主偏角が得られ、軸上の点も正しく扱えます。結果はラジアンと度の両方で表示されます。ゼロの複素数に対して atan2 は慣例的にゼロを返しますが、数学的にはゼロの偏角は定義されません。 共役を取る操作は加法と乗法に分配できます。和の共役は共役の和、積の共役は共役の積です。共役を二回取ると元の数に戻ります。複素数が自身の共役と等しいのは虚部がゼロの場合に限られ、これは複素数の中で実数を特徴づける性質です。 共役複素数は、代数、電気工学、信号処理、量子力学、フーリエ解析、多項式論で広く使われます。実係数多項式の実数でない根は共役な組になり、工学では電力やインピーダンスの計算に共役を用います。符号を曖昧にしないよう係数を別々に入力し、表示された絶対値、主偏角、実数の積で結果を確認してください。