複素数計算ツール

複素数は実部と虚部を a + bi の形で組み合わせた数で、i² = -1 です。実部の係数 a は複素平面での横方向の位置を、虚部の係数 b は縦方向の位置を表します。複素数は実数系を拡張し、x² + 1 = 0 のような方程式にも解を与えます。また、振動、回転、電気インピーダンス、波など、さまざまな数学モデルを簡潔に表現できます。 加算と減算は成分ごとに行います。a + bi と c + di を足すには、a と c、b と d をそれぞれ足します。減算も同じ構造で差を求めます。これは二次元ベクトルの加減算に似ています。実部と虚部の項を別々の列に整理すると、特に係数に負の値がある場合の符号ミスを防ぎやすくなります。 乗算では通常の分配法則と i² = -1 を使います。(a + bi)(c + di) を展開すると ac + adi + bci + bdi² になります。i² を -1 に置き換えて項をまとめると、実部は ac - bd、虚部は ad + bc です。乗算には幾何学的な意味もあります。絶対値は掛け合わされ、偏角は加算されるため、複素平面上で拡大縮小と回転を組み合わせる操作になります。 除算では共役複素数を使って分母を実数化します。(a + bi)/(c + di) の分子と分母に c - di を掛けると、分母は c² + d² になります。結果の実部は (ac + bd)/(c² + d²)、虚部は (bc - ad)/(c² + d²) です。c と d が両方ゼロの場合に限り、分母の絶対値の二乗がゼロになるため除算は定義されません。 四つの係数すべてに整数、負の数、小数を入力できます。結果は倍精度演算で計算し、表示時に小数点以下八桁に丸めます。ごく小さな浮動小数点誤差はゼロとして表示します。答えは実部と虚部がすぐにわかる直交形式のまま表示し、虚部が負の場合のマイナス記号なども自動で整えます。 複素数演算は代数学、制御システム、通信、量子力学、流体力学、信号処理で使われます。ソフトウェアで計算する場合でも、成分の公式を理解しておくと結果の解釈や誤りの発見に役立ちます。各結果の下にある演算説明を簡潔なルール確認に使い、重要な除算結果は商に元の除数を掛けて確かめてください。