誤差関数計算機

erf(x) と表す誤差関数は、ガウス（釣鐘型）確率分布が関係する場面で自然に現れる特殊数学関数です。0 から x までのガウス関数の積分を、erf(∞) = 1 となるようにスケーリングして定義します。すなわち erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt です。この積分には初等関数による閉形式がないため、計算には数値手法または級数展開が必要であり、それをこの計算機が提供します。 誤差関数は正規分布と密接に結び付いています。X が標準正規確率変数なら、X が −a と a の間に入る確率は erf(a/√2) です。さらに一般に、平均 μ、標準偏差 σ の正規分布では、確率変数が平均から k 標準偏差以内にある確率は erf(k/√2) です。このため erf は統計、仮説検定、信頼区間の計算に絶えず現れます。 相補誤差関数 erfc(x) = 1 − erf(x) = (2/√π) ∫ₓ^∞ e^(−t²) dt は、x より先のガウス分布の裾にある確率質量、すなわち裾確率を表します。x が大きいと erfc(x) は 1 よりはるかに小さくなり、1 − erf(x) として直接計算すると桁落ちにより精度を失います。この計算機は専用アルゴリズムで erfc(x) を計算するため、標準的な浮動小数点演算で erf(x) が 1 と区別できない大きな x でも正確さを保ちます。 逆誤差関数 erf⁻¹(x) は erf(y) = x を y について解く関数で、開区間 (−1, 1) で定義されます。x = 0 のとき erf⁻¹(0) = 0 です。x が ±1 に近づくと erf⁻¹(x) は ±∞ に発散します。この逆関数は、一様分布の乱数から正規分布の乱数を生成する際や、正規確率を含む方程式を解く際に使われます。逆相補誤差関数 erfc⁻¹(x) は erfc(y) = x を y について解く関数で、開区間 (0, 2) で定義されます。 実務的な工学では、誤差関数は拡散を含む熱伝達問題に現れます。表面温度が急変した半無限固体の温度分布は erf プロファイルに従います。半導体物理では、拡散処理後のドーピング分布が erfc で表されます。通信工学では、各種変調方式のビット誤り率を erfc で表します。品質管理とシックスシグマ手法では、平均 μ、標準偏差 σ、規格限界を持つ工程の不良確率に erfc を用います。 この計算機の数値実装は、有理多項式近似と既知の級数展開を組み合わせ、定義域全体で少なくとも 15 桁の有効数字に正確な結果を実現します。Python の math.erf 関数など、標準的な科学計算機やソフトウェアライブラリと同等以上の精度です。