擬似逆行列計算機

ムーア・ペンローズ擬似逆行列は、逆行列の概念を長方形行列や通常の一意な逆行列を持たない系へ拡張したものです。A+ と表し、A、A+、それらの転置に関する四つの整合条件を満たす唯一の行列です。可逆な正方行列では、擬似逆行列は通常の逆行列と一致します。縦長または横長のフルランク行列では、最小二乗計算や最小ノルム計算に必要な、逆に相当する自然な変換を与えます。 この計算機は行ごとに記述した行列を受け付けます。成分はカンマまたは空白で、行はセミコロンで区切ってください。行数が列数以上で列が独立な場合は、(A の転置 A) の逆行列に A の転置を掛けます。列数が行数より多く行が独立な場合は、A の転置に (A A の転置) の逆行列を掛けます。いずれもムーア・ペンローズ逆行列の標準的なフルランク公式です。必要な正方行列の逆行列には、ピボット選択付きガウス・ジョルダン消去法を使います。 代表的な用途は、未知数より方程式が多く、すべての式を厳密に満たすベクトルがない過剰決定系 A x = b です。b に左から A+ を掛けると、残差の二乗和を最小にする最小二乗解が得られます。行フルランクの劣決定系では、A+ はユークリッドノルムが最小の厳密解を与えます。この性質により、回帰、信号処理、制御系、ロボット工学、数値最適化、データ近似、機械学習で役立ちます。 ランクは重要です。便利な正規方程式の公式には、列または行の独立性が必要です。ランク不足では A の転置 A または A A の転置が特異となるため、この実装は不安定な値を返さず、制限を報告します。一般的な特異値分解なら、数値許容値を超える特異値のみ逆数にすることでランク不足を扱えます。大規模、悪条件、ランク不足の問題には、SVD ベースの専用数値ライブラリを使い、許容値の設定を確認してください。 浮動小数点演算も結果に影響します。表示成分は小数点以下六桁に丸めますが、内部計算では JavaScript の倍精度を保持します。正規方程式では条件数が二乗になるため、桁の大きさの差が大きいと丸め誤差が増幅されます。列のスケール調整が役立つこともありますが、専門的な数値計算では QR 法や SVD 法を優先してください。授業の例や小さなフルランク行列なら、この計算機で何度もの行列積や消去を手計算せず、擬似逆行列を分かりやすく求めて確認できます。